Номер 550, страница 145 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Площадь многоугольника. 56. Площадь прямоугольника. Глава 7. Площадь - номер 550, страница 145.

550 Найдите стороны прямоугольника, если: а) его площадь равна 250 см², а одна сторона в 2,5 раза больше другой; б) его площадь равна 9 м², а периметр равен 12 м.

а) его площадь равна 250 см?, а одна сторона в 2,5 раза больше другой;

Пусть одна сторона прямоугольника (меньшая) равна $x$ см. Тогда, согласно условию, другая сторона будет в 2,5 раза больше, то есть $2.5x$ см.
Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его смежных сторон: $S = a \cdot b$.
Нам известно, что площадь равна 250 см?. Составим и решим уравнение:
$x \cdot (2.5x) = 250$
$2.5x^2 = 250$
Теперь разделим обе части уравнения на 2,5:
$x^2 = \frac{250}{2.5}$
$x^2 = 100$
$x = \sqrt{100}$
$x = 10$ см (длина стороны может быть только положительным числом).
Итак, одна сторона равна 10 см.
Найдем вторую сторону: $2.5 \cdot 10 = 25$ см.
Проверка: площадь $S = 10 \text{ см} \cdot 25 \text{ см} = 250 \text{ см}^2$. Условие выполняется.
Ответ: стороны прямоугольника равны 10 см и 25 см.

б) его площадь равна 9 м?, а периметр равен 12 м.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$ метров.
Площадь прямоугольника задана как $S = a \cdot b = 9$ м?.
Периметр прямоугольника задан как $P = 2(a + b) = 12$ м.
Из формулы периметра найдем сумму сторон:
$a + b = \frac{P}{2} = \frac{12}{2} = 6$ м.
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} a + b = 6 \\ a \cdot b = 9 \end{cases}$
Эту систему можно решить методом подстановки. Из первого уравнения выразим $a$:
$a = 6 - b$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(6 - b) \cdot b = 9$
$6b - b^2 = 9$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$b^2 - 6b + 9 = 0$
Это уравнение является полным квадратом:
$(b - 3)^2 = 0$
Следовательно, $b - 3 = 0$, откуда $b = 3$ м.
Теперь найдем вторую сторону $a$:
$a = 6 - b = 6 - 3 = 3$ м.
Обе стороны равны 3 м, значит, данный прямоугольник является квадратом.
Проверка: площадь $S = 3 \text{ м} \cdot 3 \text{ м} = 9 \text{ м}^2$. Периметр $P = 2(3 \text{ м} + 3 \text{ м}) = 12 \text{ м}$. Условия выполняются.
Ответ: стороны прямоугольника равны 3 м и 3 м.