Номер 539, страница 138 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 539, страница 138.

539 Сколько центров симметрии имеет пара параллельных прямых?

Центром симметрии геометрической фигуры называется точка, при повороте вокруг которой на 180° фигура переходит сама в себя. Иными словами, для любой точки $A$ фигуры, симметричная ей относительно центра точка $A'$ также должна принадлежать этой фигуре.

Рассмотрим фигуру, состоящую из двух различных параллельных прямых, назовем их $l_1$ и $l_2$. Пусть точка $C$ является центром симметрии этой фигуры.

Возьмем произвольную точку $P_1$ на прямой $l_1$. Симметричная ей точка $P_1'$ относительно центра $C$ должна также принадлежать фигуре, то есть лежать либо на $l_1$, либо на $l_2$.

Если бы точка $P_1'$ лежала на той же прямой $l_1$, то это означало бы, что прямая $l_1$ симметрична сама себе относительно точки $C$. Такое возможно, только если точка $C$ лежит на прямой $l_1$. Однако, если центр симметрии $C$ лежит на $l_1$, то для любой точки $P_2$ на прямой $l_2$, симметричная ей точка $P_2'$ окажется по другую сторону от прямой $l_1$ и не будет принадлежать ни $l_1$, ни $l_2$. Следовательно, центр симметрии не может лежать ни на одной из данных прямых.

Это означает, что для любой точки $P_1$ на прямой $l_1$ симметричная ей точка $P_1'$ должна лежать на прямой $l_2$. И наоборот, для любой точки $P_2$ на $l_2$ симметричная ей точка $P_2'$ должна лежать на $l_1$. Это значит, что центральная симметрия относительно точки $C$ отображает прямую $l_1$ на прямую $l_2$ и прямую $l_2$ на прямую $l_1$.

Такое отображение возможно только в том случае, если центр симметрии $C$ равноудален от обеих прямых. Множество всех точек, равноудаленных от двух параллельных прямых, представляет собой прямую, которая параллельна данным прямым и расположена точно посередине между ними.

Докажем, что любая точка на этой серединной прямой является центром симметрии. Введем систему координат так, чтобы прямая $l_1$ имела уравнение $y = d$, а прямая $l_2$ — $y = -d$ (где $2d$ — расстояние между ними). Тогда серединная прямая будет совпадать с осью абсцисс $Ox$, и ее уравнение будет $y=0$.

Возьмем любую точку $C$ на серединной прямой. Ее координаты будут $(c, 0)$. Пусть $P_1(x_1, d)$ — произвольная точка на прямой $l_1$. Найдем координаты симметричной ей точки $P_1'(x', y')$ относительно точки $C$. По определению центральной симметрии, $C$ — середина отрезка $P_1P_1'$. Используя формулы для координат середины отрезка:$c = \frac{x_1 + x'}{2} \implies x' = 2c - x_1$$0 = \frac{d + y'}{2} \implies y' = -d$Координаты точки $P_1'$ — $(2c - x_1, -d)$. Так как ордината этой точки равна $-d$, точка $P_1'$ лежит на прямой $l_2$.

Таким образом, любая точка на прямой, проходящей посередине между двумя данными параллельными прямыми, является центром их симметрии. Поскольку такая прямая содержит бесконечное множество точек, то и центров симметрии у пары параллельных прямых бесконечно много.

Ответ: Пара параллельных прямых имеет бесконечно много центров симметрии. Все они образуют прямую, параллельную данным и расположенную посередине между ними.