Номер 539, страница 138 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Дополнительные задачи - номер 539, страница 138.

Условие.

539 Сколько центров симметрии имеет пара параллельных прямых?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Центром симметрии геометрической фигуры называется точка, при повороте вокруг которой на 180° фигура переходит сама в себя. Иными словами, для любой точки $A$ фигуры, симметричная ей относительно центра точка $A'$ также должна принадлежать этой фигуре.

Рассмотрим фигуру, состоящую из двух различных параллельных прямых, назовем их $l_1$ и $l_2$. Пусть точка $C$ является центром симметрии этой фигуры.

Возьмем произвольную точку $P_1$ на прямой $l_1$. Симметричная ей точка $P_1'$ относительно центра $C$ должна также принадлежать фигуре, то есть лежать либо на $l_1$, либо на $l_2$.

Если бы точка $P_1'$ лежала на той же прямой $l_1$, то это означало бы, что прямая $l_1$ симметрична сама себе относительно точки $C$. Такое возможно, только если точка $C$ лежит на прямой $l_1$. Однако, если центр симметрии $C$ лежит на $l_1$, то для любой точки $P_2$ на прямой $l_2$, симметричная ей точка $P_2'$ окажется по другую сторону от прямой $l_1$ и не будет принадлежать ни $l_1$, ни $l_2$. Следовательно, центр симметрии не может лежать ни на одной из данных прямых.

Это означает, что для любой точки $P_1$ на прямой $l_1$ симметричная ей точка $P_1'$ должна лежать на прямой $l_2$. И наоборот, для любой точки $P_2$ на $l_2$ симметричная ей точка $P_2'$ должна лежать на $l_1$. Это значит, что центральная симметрия относительно точки $C$ отображает прямую $l_1$ на прямую $l_2$ и прямую $l_2$ на прямую $l_1$.

Такое отображение возможно только в том случае, если центр симметрии $C$ равноудален от обеих прямых. Множество всех точек, равноудаленных от двух параллельных прямых, представляет собой прямую, которая параллельна данным прямым и расположена точно посередине между ними.

Докажем, что любая точка на этой серединной прямой является центром симметрии. Введем систему координат так, чтобы прямая $l_1$ имела уравнение $y = d$, а прямая $l_2$ — $y = -d$ (где $2d$ — расстояние между ними). Тогда серединная прямая будет совпадать с осью абсцисс $Ox$, и ее уравнение будет $y=0$.

Возьмем любую точку $C$ на серединной прямой. Ее координаты будут $(c, 0)$. Пусть $P_1(x_1, d)$ — произвольная точка на прямой $l_1$. Найдем координаты симметричной ей точки $P_1'(x', y')$ относительно точки $C$. По определению центральной симметрии, $C$ — середина отрезка $P_1P_1'$. Используя формулы для координат середины отрезка:$c = \frac{x_1 + x'}{2} \implies x' = 2c - x_1$$0 = \frac{d + y'}{2} \implies y' = -d$Координаты точки $P_1'$ — $(2c - x_1, -d)$. Так как ордината этой точки равна $-d$, точка $P_1'$ лежит на прямой $l_2$.

Таким образом, любая точка на прямой, проходящей посередине между двумя данными параллельными прямыми, является центром их симметрии. Поскольку такая прямая содержит бесконечное множество точек, то и центров симметрии у пары параллельных прямых бесконечно много.

Ответ: Пара параллельных прямых имеет бесконечно много центров симметрии. Все они образуют прямую, параллельную данным и расположенную посередине между ними.