Номер 533, страница 138 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 533, страница 138.

533 На диагонали АС квадрата ABCD взята точка М так, что АМ = AB. Через точку М проведена прямая, перпендикулярная к прямой АС и пересекающая ВС в точке Н. Докажите, что ВН = НМ = МС.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда $AB = BC = CD = DA = a$. Диагональ квадрата $AC$ находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABC$: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

По условию задачи, на диагонали $AC$ взята точка $M$ так, что $AM = AB$. Следовательно, $AM = a$. Теперь мы можем найти длину отрезка $MC$: $MC = AC - AM = a\sqrt{2} - a = a(\sqrt{2}-1)$.

Рассмотрим треугольник $MHC$. По условию, прямая $MH$ перпендикулярна прямой $AC$, следовательно, $\angle HMC = 90^{\circ}$. Так как $ABCD$ — квадрат, его диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle BCD$, поэтому $\angle BCA = 45^{\circ}$. Поскольку точка $H$ лежит на стороне $BC$, то $\angle MCH = \angle BCA = 45^{\circ}$.

Зная два угла в треугольнике $MHC$, найдем третий угол $\angle CHM$: $\angle CHM = 180^{\circ} - \angle HMC - \angle MCH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$. Поскольку в треугольнике $MHC$ два угла равны ($\angle MCH = \angle CHM = 45^{\circ}$), он является равнобедренным, и стороны, противолежащие равным углам, равны: $HM = MC$. Таким образом, мы доказали, что $HM = MC$, и их длина равна $a(\sqrt{2}-1)$.

Теперь докажем, что $BH = HM$. Для этого найдем длину отрезка $BH$. Точка $H$ лежит на отрезке $BC$, поэтому $BH = BC - HC$. Длина стороны $BC$ равна $a$. Найдем длину $HC$. В прямоугольном равнобедренном треугольнике $MHC$ гипотенуза $HC$ связана с катетом $MC$ по теореме Пифагора: $HC^2 = HM^2 + MC^2 = 2 \cdot MC^2$, откуда $HC = MC\sqrt{2}$. Подставим ранее найденное выражение для $MC$: $HC = a(\sqrt{2}-1)\sqrt{2} = a(2-\sqrt{2})$.

Теперь вычислим длину $BH$: $BH = BC - HC = a - a(2-\sqrt{2}) = a - 2a + a\sqrt{2} = a\sqrt{2} - a = a(\sqrt{2}-1)$.

Сравнивая полученные длины, мы видим, что $BH = a(\sqrt{2}-1)$, $HM = a(\sqrt{2}-1)$ и $MC = a(\sqrt{2}-1)$. Следовательно, $BH = HM = MC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BH = HM = MC$ доказано.