Номер 462, страница 123 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 1. Многоугольники. 47. Четырёхугольник - номер 462, страница 123.

Условие.

462 Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. В каждом многоугольнике из какой-нибудь вершины проведите все диагонали. На сколько треугольников разделяют проведённые диагонали каждый многоугольник?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Выпуклый пятиугольник

Рассмотрим выпуклый пятиугольник. Это многоугольник с 5 вершинами и 5 сторонами. Выберем одну из его вершин. Диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Из выбранной вершины нельзя провести диагональ к ней самой и к двум соседним вершинам. Следовательно, из одной вершины пятиугольника можно провести диагонали к $5 - 3 = 2$ другим вершинам.
Эти две диагонали разделяют пятиугольник на 3 треугольника. В общем случае, количество треугольников, на которые диагонали, проведенные из одной вершины, разделяют выпуклый n-угольник, равно $n-2$. Для пятиугольника ($n=5$) это будет $5 - 2 = 3$ треугольника.
Ответ: Проведенные диагонали разделяют пятиугольник на 3 треугольника.

Выпуклый шестиугольник

Рассмотрим выпуклый шестиугольник. У него 6 вершин. Аналогично пятиугольнику, выберем одну вершину и проведем из нее все возможные диагонали. Количество вершин, к которым можно провести диагонали из одной выбранной, равно $6 - 3 = 3$.
Эти три диагонали разделяют шестиугольник на 4 треугольника. Применяя общую формулу $n-2$ для шестиугольника ($n=6$), получаем $6 - 2 = 4$ треугольника.
Ответ: Проведенные диагонали разделяют шестиугольник на 4 треугольника.