Номер 458, страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 5 - номер 458, страница 120.

Условие.

458 Даны неразвёрнутый угол и точка на одной из его сторон. Постройте окружность, которая вписана в угол и касается его стороны в данной точке.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для построения окружности, которая вписана в данный неразвёрнутый угол и касается одной из его сторон в указанной точке, необходимо найти её центр и радиус. Решение задачи основывается на двух фундаментальных геометрических свойствах.

Во-первых, известно, что центр любой окружности, вписанной в угол, равноудалён от его сторон. Множеством всех таких точек является биссектриса данного угла. Следовательно, центр искомой окружности должен лежать на биссектрисе угла.

Во-вторых, радиус окружности, проведённый в точку касания, всегда перпендикулярен касательной прямой. По условию, окружность должна касаться одной из сторон угла (назовём её лучом $a$) в данной на ней точке $K$. Это означает, что центр искомой окружности должен находиться на прямой, которая перпендикулярна лучу $a$ и проходит через точку $K$.

Таким образом, задача сводится к нахождению точки, удовлетворяющей обоим этим условиям. Эта точка является пересечением двух линий: биссектрисы угла и перпендикуляра к стороне в точке касания.

Построение выполняется в следующем порядке:

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и точка $K$ на одной из его сторон.
1. С помощью циркуля и линейки строим биссектрису $l$ данного угла $O$.
2. В точке $K$ строим прямую $m$, перпендикулярную стороне, на которой лежит точка $K$.
3. Находим точку пересечения биссектрисы $l$ и перпендикуляра $m$. Обозначим эту точку как $C$. Эта точка и будет центром искомой окружности.
4. Радиус искомой окружности $R$ равен длине отрезка $CK$.
5. Строим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $R = CK$.

Построенная окружность является искомой, так как она по построению касается стороны в точке $K$ (поскольку радиус $CK$ перпендикулярен этой стороне) и также касается второй стороны угла (поскольку её центр $C$ лежит на биссектрисе и, следовательно, равноудалён от обеих сторон).

Ответ: Для построения искомой окружности необходимо найти точку пересечения биссектрисы данного угла и перпендикуляра к стороне угла, проведённого через данную на этой стороне точку. Найденная точка пересечения является центром окружности, а расстояние от неё до данной точки — её радиусом.