Номер 461, страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 5. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 461, страница 120.

461 Даны окружность, её внутренняя точка A и отрезок PQ. Постройте хорду KМ окружности, проходящую через точку А так, что АK – АМ = PQ.

Для решения задачи воспользуемся методом геометрических мест. Сначала проведём анализ, чтобы свести задачу к поиску точки, а затем опишем алгоритм построения, докажем его верность и исследуем количество возможных решений.

Анализ

Пусть дана окружность $ \omega $ с центром в точке $ O $ и радиусом $ R $, точка $ A $ внутри неё и отрезок $ PQ $. Необходимо построить хорду $ KM $, проходящую через точку $ A $ так, чтобы выполнялось условие $ |AK - AM| = PQ $. Без ограничения общности, будем считать, что точка $ M $ находится между $ A $ и $ K $, тогда $ AK - AM = PQ $.

Поскольку точка $ A $ лежит на хорде $ KM $, длина хорды равна $ KM = AK + AM $. Мы имеем систему из двух уравнений:

• $ AK - AM = PQ $
• $ AK + AM = KM $

Сложив уравнения, получим $ 2 \cdot AK = KM + PQ $, откуда $ AK = \frac{KM + PQ}{2} $. Вычтя первое уравнение из второго, получим $ 2 \cdot AM = KM - PQ $, откуда $ AM = \frac{KM - PQ}{2} $.

По теореме о степени точки, для точки $ A $ и любой хорды, проходящей через неё, произведение длин отрезков, на которые точка $ A $ делит хорду, является постоянной величиной. Эта величина равна $ R^2 - OA^2 $. Следовательно, $ AK \cdot AM = R^2 - OA^2 $.

Подставим выражения для $ AK $ и $ AM $ в это равенство: $ \left(\frac{KM + PQ}{2}\right) \cdot \left(\frac{KM - PQ}{2}\right) = R^2 - OA^2 $ $ \frac{KM^2 - PQ^2}{4} = R^2 - OA^2 $

Пусть $ H $ — середина хорды $ KM $. Тогда $ OH \perp KM $. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом, половиной хорды и отрезком $ OH $, имеем $ R^2 = OH^2 + \left(\frac{KM}{2}\right)^2 $. Отсюда $ \left(\frac{KM}{2}\right)^2 = R^2 - OH^2 $, или $ \frac{KM^2}{4} = R^2 - OH^2 $.

Подставим это в наше уравнение: $ (R^2 - OH^2) - \frac{PQ^2}{4} = R^2 - OA^2 $ $ -OH^2 - \frac{PQ^2}{4} = -OA^2 $ $ OA^2 - OH^2 = \frac{PQ^2}{4} $ $ OA^2 - OH^2 = \left(\frac{PQ}{2}\right)^2 $

Рассмотрим треугольник $ \triangle OHA $. Так как $ OH \perp KM $, то $ \angle OHA = 90^\circ $. По теореме Пифагора для $ \triangle OHA $, $ OA^2 = OH^2 + AH^2 $, откуда $ OA^2 - OH^2 = AH^2 $.

Сравнивая два последних выражения, получаем $ AH^2 = \left(\frac{PQ}{2}\right)^2 $, что означает $ AH = \frac{PQ}{2} $.

Таким образом, задача сводится к нахождению середины $ H $ искомой хорды. Точка $ H $ должна удовлетворять двум условиям:

1. Поскольку $ H $ — середина хорды, проходящей через $ A $, то $ \angle OHA = 90^\circ $. Геометрическое место таких точек $ H $ — это окружность $ \omega_1 $, построенная на отрезке $ OA $ как на диаметре.
2. Расстояние от $ A $ до $ H $ равно $ \frac{PQ}{2} $. Геометрическое место таких точек $ H $ — это окружность $ \omega_2 $ с центром в точке $ A $ и радиусом $ r = \frac{PQ}{2} $.

Искомая точка $ H $ является точкой пересечения этих двух окружностей.

Ответ: Для построения хорды необходимо найти её середину $ H $, которая является точкой пересечения двух вспомогательных окружностей: одной, построенной на $ OA $ как на диаметре, и второй, с центром в $ A $ и радиусом $ \frac{PQ}{2} $.

Построение

1. Находим середину отрезка $ PQ $ (например, с помощью циркуля и линейки), получаем отрезок длиной $ \frac{PQ}{2} $.
2. Строим окружность $ \omega_2 $ с центром в точке $ A $ и радиусом, равным $ \frac{PQ}{2} $.
3. Соединяем точки $ O $ и $ A $ отрезком.
4. Строим окружность $ \omega_1 $, для которой отрезок $ OA $ является диаметром (находим середину $ OA $, которая будет центром $ \omega_1 $, а радиус будет равен $ \frac{OA}{2} $).
5. Находим точку (или точки) $ H $ пересечения окружностей $ \omega_1 $ и $ \omega_2 $.
6. Проводим прямую через точки $ A $ и $ H $.
7. Точки пересечения этой прямой с исходной окружностью $ \omega $ и будут искомыми точками $ K $ и $ M $.

Ответ: Искомая хорда $ KM $ лежит на прямой, проходящей через данную точку $ A $ и точку $ H $, найденную как пересечение двух вспомогательных окружностей.

Доказательство

Пусть хорда $ KM $ построена согласно описанному алгоритму. Покажем, что она удовлетворяет условию задачи.

По построению, точка $ H $ лежит на окружности $ \omega_1 $ с диаметром $ OA $. Следовательно, угол $ \angle OHA $ опирается на диаметр, а значит, он прямой: $ \angle OHA = 90^\circ $.

Это означает, что отрезок $ OH $ перпендикулярен хорде $ KM $. По свойству хорд, перпендикуляр из центра окружности к хорде делит её пополам. Таким образом, $ H $ — середина хорды $ KM $, т.е. $ KH = MH = \frac{KM}{2} $.

Также по построению, точка $ H $ лежит на окружности $ \omega_2 $ с центром в $ A $ и радиусом $ \frac{PQ}{2} $. Следовательно, $ AH = \frac{PQ}{2} $.

Поскольку $ A $ лежит на хорде $ KM $, а $ H $ — её середина, то отрезки $ AK $ и $ AM $ можно выразить через $ HM $ и $ AH $. Пусть для определенности точки на прямой расположены в порядке $ M, H, A, K $. Тогда: $ AK = KH - AH = \frac{KM}{2} - \frac{PQ}{2} $ $ AM = MH - AH $, но это неверно, порядок другой. Пусть порядок $ K, A, H, M $. Тогда $ AK = HK - AH = \frac{KM}{2} - \frac{PQ}{2} $ и $ AM = HM + AH = \frac{KM}{2} + \frac{PQ}{2} $. Тогда $ |AK-AM| = \left| \left(\frac{KM}{2} - \frac{PQ}{2}\right) - \left(\frac{KM}{2} + \frac{PQ}{2}\right) \right| = |-PQ| = PQ $.

Если порядок $ K, H, A, M $, то $ AK = KH + AH = \frac{KM}{2} + \frac{PQ}{2} $ и $ AM = HM - AH = \frac{KM}{2} - \frac{PQ}{2} $. Тогда $ AK-AM = \left(\frac{KM}{2} + \frac{PQ}{2}\right) - \left(\frac{KM}{2} - \frac{PQ}{2}\right) = PQ $.

В любом случае, разность длин отрезков $ AK $ и $ AM $ равна длине отрезка $ PQ $. Построение верно.

Ответ: Построенная хорда $ KM $ удовлетворяет условию $ |AK - AM| = PQ $, так как её середина $ H $ по построению удалена от точки $ A $ на расстояние $ \frac{PQ}{2} $.

Исследование

Решение задачи существует тогда и только тогда, когда окружности $ \omega_1 $ (с диаметром $ OA $) и $ \omega_2 $ (с центром $ A $ и радиусом $ r_2 = \frac{PQ}{2} $) пересекаются.

Центр окружности $ \omega_1 $ — середина отрезка $ OA $, обозначим её $ C $. Радиус $ \omega_1 $ равен $ r_1 = \frac{OA}{2} $. Расстояние между центрами $ C $ и $ A $ равно $ CA = \frac{OA}{2} $.

Условие пересечения двух окружностей: $ |r_1 - r_2| \le CA \le r_1 + r_2 $. Подставляем наши значения: $ \left|\frac{OA}{2} - \frac{PQ}{2}\right| \le \frac{OA}{2} \le \frac{OA}{2} + \frac{PQ}{2} $

Правое неравенство $ \frac{OA}{2} \le \frac{OA}{2} + \frac{PQ}{2} $ преобразуется к виду $ 0 \le \frac{PQ}{2} $, что всегда верно, так как длина отрезка неотрицательна.

Левое неравенство $ \left|\frac{OA - PQ}{2}\right| \le \frac{OA}{2} $ равносильно двойному неравенству: $ -\frac{OA}{2} \le \frac{OA - PQ}{2} \le \frac{OA}{2} $ $ -OA \le OA - PQ \le OA $

Из правой части $ OA - PQ \le OA $ следует $ -PQ \le 0 $, что верно. Из левой части $ -OA \le OA - PQ $ следует $ PQ \le 2 \cdot OA $.

Таким образом, условие существования решения — $ PQ \le 2 \cdot OA $.

• Если $ PQ < 2 \cdot OA $, то окружности $ \omega_1 $ и $ \omega_2 $ пересекаются в двух точках $ H_1 $ и $ H_2 $. Это дает две различные хорды (симметричные относительно прямой $ OA $). Два решения.
• Если $ PQ = 2 \cdot OA $, то $ \frac{PQ}{2} = OA $. Окружности касаются в одной точке $ H=O $. В этом случае искомая хорда проходит через центр $ O $ и точку $ A $, то есть является диаметром. Одно решение.
• Если $ PQ > 2 \cdot OA $, то окружности не пересекаются, и построение невозможно. Нет решений.

Ответ: Задача имеет два решения при $ PQ < 2 \cdot OA $, одно решение при $ PQ = 2 \cdot OA $ и не имеет решений при $ PQ > 2 \cdot OA $.