Номер 455, страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 5. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 455, страница 120.

455 Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных параллельных прямых.

Для решения задачи выполним анализ, построение и исследование.

Анализ

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, и точка $M$. Требуется построить окружность $\omega$, которая проходит через точку $M$ и касается прямых $a$ и $b$.

1. Если окружность касается двух параллельных прямых, то ее центр $O$ должен быть равноудален от этих прямых. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух параллельных прямых, есть прямая $c$, параллельная им и проходящая посередине между ними.

2. Диаметр такой окружности равен расстоянию между данными параллельными прямыми. Обозначим это расстояние как $d$. Тогда радиус искомой окружности $R$ будет равен $d/2$.

3. Так как искомая окружность должна проходить через точку $M$, то расстояние от ее центра $O$ до точки $M$ должно быть равно радиусу $R$. Это означает, что центр $O$ должен лежать на окружности с центром в точке $M$ и радиусом $R$.

Таким образом, центр искомой окружности $O$ является точкой пересечения двух геометрических мест: серединной прямой $c$ и окружности с центром в точке $M$ и радиусом $R = d/2$.

Построение

1. На прямой $a$ выберем произвольную точку $P$. С помощью циркуля и линейки построим прямую, перпендикулярную прямой $a$ и проходящую через точку $P$. Эта прямая пересечет прямую $b$ в некоторой точке $Q$. Длина отрезка $PQ$ равна расстоянию $d$ между прямыми $a$ и $b$.

2. Построим середину отрезка $PQ$. Обозначим эту точку $S$. Длина отрезка $PS$ (или $SQ$) равна искомому радиусу $R$, то есть $R = d/2$.

3. Через точку $S$ проведем прямую $c$, параллельную прямой $a$ (и, следовательно, прямой $b$). Эта прямая $c$ является серединной линией для прямых $a$ и $b$.

4. С центром в данной точке $M$ построим окружность радиусом $R$, равным длине отрезка $PS$.

5. Найдем точки пересечения прямой $c$ и окружности, построенной в шаге 4. Эти точки (если они существуют) и будут центрами искомых окружностей. Обозначим их $O_1$ и $O_2$.

6. Построим окружность (или окружности) с центром в найденной точке (или точках) $O_1$ (и $O_2$) и радиусом $R$. Построенные окружности являются искомыми.

Исследование

Количество решений задачи зависит от взаимного расположения прямой $c$ и окружности с центром в $M$ и радиусом $R$. Это, в свою очередь, зависит от положения точки $M$ относительно прямых $a$ и $b$.

1. Два решения. Если точка $M$ расположена строго между прямыми $a$ и $b$, то расстояние от нее до серединной прямой $c$ будет меньше $R$. В этом случае окружность с центром $M$ и радиусом $R$ пересечет прямую $c$ в двух точках. Следовательно, задача будет иметь два решения.

2. Одно решение. Если точка $M$ лежит на одной из данных прямых, $a$ или $b$, то расстояние от нее до прямой $c$ будет в точности равно $R$. В этом случае окружность с центром $M$ будет касаться прямой $c$ в одной точке. Следовательно, задача будет иметь одно решение.

3. Нет решений. Если точка $M$ лежит вне полосы, ограниченной прямыми $a$ и $b$, то расстояние от нее до прямой $c$ будет больше $R$. В этом случае окружность с центром $M$ и прямая $c$ не будут иметь общих точек. Следовательно, задача не будет иметь решений.

Ответ: Для построения окружности нужно найти ее радиус $R$, который равен половине расстояния между данными параллельными прямыми, и ее центр $O$. Центр $O$ лежит на пересечении двух множеств точек: 1) прямой, равноудаленной от двух данных параллельных прямых; 2) окружности с центром в данной точке $M$ и радиусом $R$. В зависимости от положения точки $M$ задача может иметь два решения (если $M$ между прямыми), одно решение (если $M$ на одной из прямых) или не иметь решений (если $M$ вне полосы между прямыми).