Номер 448, страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 5 - номер 448, страница 120.

Условие.

448 Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудалённую от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения данной задачи используется метод геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка $X$ должна одновременно удовлетворять двум условиям:

1. Точка $X$ лежит на данной окружности.
2. Точка $X$ равноудалена от концов данного отрезка.

Первому условию удовлетворяют все точки данной окружности.

Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух заданных точек (в нашем случае — от концов отрезка), является серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Следовательно, искомые точки являются точками пересечения данной окружности и серединного перпендикуляра к данному отрезку.

Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудалённую от концов данного отрезка

Пусть нам дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и некоторый отрезок $AB$.

Алгоритм построения:

1. Построить серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$.
   • С помощью циркуля построить две пересекающиеся дуги окружностей с центрами в точках $A$ и $B$ и одинаковым радиусом, большим половины длины отрезка $AB$.
   • Через две точки пересечения этих дуг провести прямую. Эта прямая и будет серединным перпендикуляром $m$ к отрезку $AB$.
2. Найти точки пересечения построенного серединного перпендикуляра $m$ и данной окружности $\omega$.

Точки, полученные в результате пересечения, будут являться искомыми, так как они принадлежат окружности $\omega$ и прямой $m$ одновременно.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения данной окружности и серединного перпендикуляра к данному отрезку.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи равно количеству точек пересечения окружности $\omega$ и прямой $m$ (серединного перпендикуляра). Это количество зависит от их взаимного расположения. Пусть $R$ — радиус окружности $\omega$, а $d$ — расстояние от ее центра $O$ до прямой $m$.

Возможны три случая:

• Два решения. Если прямая $m$ пересекает окружность $\omega$ в двух точках. Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса: $d < R$.
• Одно решение. Если прямая $m$ касается окружности $\omega$ (имеет с ней одну общую точку). Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу: $d = R$.
• Нет решений. Если прямая $m$ и окружность $\omega$ не имеют общих точек. Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса: $d > R$.

Ответ: Задача может иметь два, одно или ноль решений.