Номер 448, страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 5. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 448, страница 120.

448 Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудалённую от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?

Для решения данной задачи используется метод геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка $X$ должна одновременно удовлетворять двум условиям:

1. Точка $X$ лежит на данной окружности.
2. Точка $X$ равноудалена от концов данного отрезка.

Первому условию удовлетворяют все точки данной окружности.

Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух заданных точек (в нашем случае — от концов отрезка), является серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Следовательно, искомые точки являются точками пересечения данной окружности и серединного перпендикуляра к данному отрезку.

Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудалённую от концов данного отрезка

Пусть нам дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и некоторый отрезок $AB$.

Алгоритм построения:

1. Построить серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$.
   • С помощью циркуля построить две пересекающиеся дуги окружностей с центрами в точках $A$ и $B$ и одинаковым радиусом, большим половины длины отрезка $AB$.
   • Через две точки пересечения этих дуг провести прямую. Эта прямая и будет серединным перпендикуляром $m$ к отрезку $AB$.
2. Найти точки пересечения построенного серединного перпендикуляра $m$ и данной окружности $\omega$.

Точки, полученные в результате пересечения, будут являться искомыми, так как они принадлежат окружности $\omega$ и прямой $m$ одновременно.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения данной окружности и серединного перпендикуляра к данному отрезку.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи равно количеству точек пересечения окружности $\omega$ и прямой $m$ (серединного перпендикуляра). Это количество зависит от их взаимного расположения. Пусть $R$ — радиус окружности $\omega$, а $d$ — расстояние от ее центра $O$ до прямой $m$.

Возможны три случая:

• Два решения. Если прямая $m$ пересекает окружность $\omega$ в двух точках. Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса: $d < R$.
• Одно решение. Если прямая $m$ касается окружности $\omega$ (имеет с ней одну общую точку). Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу: $d = R$.
• Нет решений. Если прямая $m$ и окружность $\omega$ не имеют общих точек. Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса: $d > R$.

Ответ: Задача может иметь два, одно или ноль решений.