Номер 442, страница 118 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

442 Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне.

Решение

Даны три отрезка М₁N₁, M₂N₂, M₃N₃ (рис. 183, а). Требуется построить такой треугольник ABC, у которого две стороны, скажем AB и АС, равны соответственно данным отрезкам M₁N₁ и M₂N₂, а высота АН равна отрезку M₃N₃. Проведём решение задачи по описанной схеме.

Анализ

Допустим, что искомый треугольник ABC построен (рис. 183, б). Мы видим, что сторона AB и высота АН являются гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника ABН. Поэтому построение треугольника ABC можно провести по такому плану: сначала построить прямоугольный треугольник ABН, а затем достроить его до всего треугольника ABC.

Построение

Строим прямоугольный треугольник ABН, у которого гипотенуза AB равна отрезку M₁N₁, а катет АН равен данному отрезку M₃N₃. Как это сделать, мы знаем (задача 323, в). На рисунке 184, а изображён построенный треугольник ABН. Затем проводим окружность радиуса M₂N₂ с центром в точке А. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой ВН обозначим буквой С. Проведя отрезки ВС и АС, получим искомый треугольник ABC (рис. 184, б).

Доказательство

Треугольник ABC действительно искомый, так как по построению сторона AB равна М₁N₁, сторона АС равна M₂N₂, а высота АН равна M₃N₃, т. е. треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Нетрудно сообразить, что задача имеет решение не при любых данных отрезках M₁N₁, M₂N₂, M₃N₃. В самом деле, если хотя бы один из отрезков M₁N₁ и M₂N₂ меньше M₃N₃, то задача не имеет решения, так как наклонные AB и АС не могут быть меньше перпендикуляра АН. Задача не имеет решения и в том случае, когда М₁N₁ = М₂N₂ = М₃N₃ (объясните почему). В остальных случаях задача имеет решение. Если M₁N₁ > M₃N₃, а M₂N₂ = M₃N₃, то задача имеет единственное решение: в этом случае сторона АС совпадает с высотой АН и искомый треугольник является прямоугольным (рис. 184, в). Если М₁N₁ > М₃N₃, а М₂N₂ = М₁N₁, то задача также имеет единственное решение: в этом случае треугольник ABC равнобедренный (рис. 184, г). И наконец, если M₁N₁ > M₃N₃, M₂N₂ > M₃N₃ и M₁N₁ ≠ M₂N₂, то задача имеет два решения — треугольники ABC и ABС₁ на рисунке 184, д.

Анализ

Допустим, искомый треугольник $ABC$ построен. В этом треугольнике проведены стороны $AB$ и $AC$, равные соответственно заданным отрезкам $M_1N_1$ и $M_2N_2$, и высота $AH$ к стороне $BC$, равная отрезку $M_3N_3$.

Высота $AH$ перпендикулярна прямой $BC$, поэтому треугольники $ABH$ и $ACH$ являются прямоугольными.

В прямоугольном треугольнике $ABH$ сторона $AB$ является гипотенузой, а высота $AH$ — катетом. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $ACH$ сторона $AC$ является гипотенузой, а $AH$ — катетом.

Это наблюдение подсказывает план построения. Сначала можно построить прямоугольный треугольник $ABH$ по известным гипотенузе ($AB = M_1N_1$) и катету ($AH = M_3N_3$). Затем, зная положение точек $A$ и $H$, можно найти положение точки $C$ на прямой $BH$.

Ответ: План построения заключается в том, чтобы сначала построить прямоугольный треугольник $ABH$ по гипотенузе и катету, а затем достроить его до треугольника $ABC$, найдя вершину $C$ на прямой, содержащей основание $BH$.

Построение

1. Проведем произвольную прямую $p$. Выберем на ней произвольную точку $H$.

2. Через точку $H$ проведем прямую, перпендикулярную прямой $p$.

3. На этой перпендикулярной прямой отложим от точки $H$ отрезок $HA$, длина которого равна длине заданного отрезка $M_3N_3$.

4. Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $M_1N_1$. Точка пересечения этой окружности с прямой $p$ будет вершиной $B$. (Если окружность пересекает прямую в двух точках, для построения можно выбрать любую из них). В результате будет построен прямоугольный треугольник $ABH$.

5. Построим вторую окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $M_2N_2$. Точка (или точки) пересечения этой окружности с прямой $p$ будет вершиной $C$.

6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Искомый треугольник строится с помощью циркуля и линейки путем последовательного определения положения вершин $A$, $B$ и $C$ на основе заданных длин сторон и высоты.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$. По построению, отрезок $AH$ перпендикулярен прямой $p$, на которой лежат вершины $B$ и $C$. Следовательно, $AH$ является высотой треугольника $ABC$, опущенной на сторону $BC$ (или ее продолжение). Длина этой высоты по построению равна $M_3N_3$.

Сторона $AB$ является радиусом первой окружности, построенной с центром в точке $A$, поэтому ее длина равна $M_1N_1$.

Сторона $AC$ является радиусом второй окружности, построенной с центром в точке $A$, поэтому ее длина равна $M_2N_2$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построенный треугольник $ABC$ действительно является искомым, так как по построению его стороны $AB$ и $AC$ и высота $AH$ равны заданным отрезкам $M_1N_1$, $M_2N_2$ и $M_3N_3$.

Исследование

Задача имеет решение не при любых заданных отрезках. Проанализируем условия существования и количество решений.

1. Нет решений. Для построения прямоугольных треугольников $ABH$ и $ACH$ необходимо, чтобы гипотенуза была не меньше катета. Поэтому, если хотя бы один из отрезков $M_1N_1$ или $M_2N_2$ меньше отрезка $M_3N_3$, то задача не имеет решений. Также задача не имеет решения в случае, когда $M_1N_1 = M_2N_2 = M_3N_3$, так как в этом случае точки $B$ и $C$ совпадут с точкой $H$, и треугольник вырождается в отрезок.

2. Одно решение. Задача имеет единственное решение в следующих случаях:
а) Если одна из сторон равна высоте, а другая больше высоты. Например, если $M_1N_1 > M_3N_3$, а $M_2N_2 = M_3N_3$. В этом случае точка $C$ совпадает с точкой $H$, и искомый треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.
б) Если данные стороны равны между собой и их длина больше длины высоты, то есть $M_1N_1 = M_2N_2 > M_3N_3$. В этом случае по построению $BH=CH$, и одна из возможных точек для $C$ совпадет с точкой $B$ (что дает вырожденный треугольник), а вторая точка даст равнобедренный треугольник $ABC$. Таким образом, существует одно невырожденное решение.

3. Два решения. Если обе заданные стороны больше высоты и не равны друг другу ($M_1N_1 > M_3N_3$, $M_2N_2 > M_3N_3$ и $M_1N_1 \neq M_2N_2$), то задача имеет два решения. В этом случае окружность с центром в $A$ и радиусом $M_2N_2$ пересечет прямую $p$ в двух точках $C_1$ и $C_2$, симметричных относительно точки $H$. Так как $M_1N_1 \neq M_2N_2$, то $BH \neq CH$, и ни одна из точек $C_1, C_2$ не совпадает с $B$. Это приводит к построению двух различных неконгруэнтных треугольников: $ABC_1$ и $ABC_2$.

Ответ: Задача может иметь ноль, одно или два решения. Решение существует, если длины отрезков, задающих стороны, не меньше длины отрезка, задающего высоту ($M_1N_1 \geq M_3N_3$ и $M_2N_2 \geq M_3N_3$, за исключением случая $M_1N_1 = M_2N_2 = M_3N_3$). Задача имеет одно решение, если одна из сторон равна высоте или если стороны равны между собой (и больше высоты). Задача имеет два решения, если обе стороны больше высоты и не равны друг другу.