номер 442 (страница 118) гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов, Кадомцев

Решение

Даны три отрезка М₁N₁, M₂N₂, M₃N₃ (рис. 183, а). Требуется построить такой треугольник ABC, у которого две стороны, скажем AB и АС, равны соответственно данным отрезкам M₁N₁ и M₂N₂, а высота АН равна отрезку M₃N₃. Проведём решение задачи по описанной схеме.

Анализ

Допустим, что искомый треугольник ABC построен (рис. 183, б). Мы видим, что сторона AB и высота АН являются гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника ABН. Поэтому построение треугольника ABC можно провести по такому плану: сначала построить прямоугольный треугольник ABН, а затем достроить его до всего треугольника ABC.

Построение

Строим прямоугольный треугольник ABН, у которого гипотенуза AB равна отрезку M₁N₁, а катет АН равен данному отрезку M₃N₃. Как это сделать, мы знаем (задача 323, в). На рисунке 184, а изображён построенный треугольник ABН. Затем проводим окружность радиуса M₂N₂ с центром в точке А. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой ВН обозначим буквой С. Проведя отрезки ВС и АС, получим искомый треугольник ABC (рис. 184, б).

Доказательство

Треугольник ABC действительно искомый, так как по построению сторона AB равна М₁N₁, сторона АС равна M₂N₂, а высота АН равна M₃N₃, т. е. треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Нетрудно сообразить, что задача имеет решение не при любых данных отрезках M₁N₁, M₂N₂, M₃N₃. В самом деле, если хотя бы один из отрезков M₁N₁ и M₂N₂ меньше M₃N₃, то задача не имеет решения, так как наклонные AB и АС не могут быть меньше перпендикуляра АН. Задача не имеет решения и в том случае, когда М₁N₁ = М₂N₂ = М₃N₃ (объясните почему). В остальных случаях задача имеет решение. Если M₁N₁ > M₃N₃, а M₂N₂ = M₃N₃, то задача имеет единственное решение: в этом случае сторона АС совпадает с высотой АН и искомый треугольник является прямоугольным (рис. 184, в). Если М₁N₁ > М₃N₃, а М₂N₂ = М₁N₁, то задача также имеет единственное решение: в этом случае треугольник ABC равнобедренный (рис. 184, г). И наконец, если M₁N₁ > M₃N₃, M₂N₂ > M₃N₃ и M₁N₁ ≠ M₂N₂, то задача имеет два решения — треугольники ABC и ABС₁ на рисунке 184, д.