Номер 441, страница 117 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 3 и 4. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 441, страница 117.

441 В треугольнике ABC высота АА₁ не меньше стороны ВС, а высота ВВ₁ не меньше стороны АС. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный и прямоугольный.

Обозначим стороны треугольника $ABC$ как $a=BC$ и $b=AC$. Высоты, опущенные на эти стороны, обозначим как $h_a = AA_1$ и $h_b = BB_1$ соответственно.

По условию задачи даны два неравенства: $h_a \ge a$ и $h_b \ge b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1C$, образованный высотой $AA_1$, стороной $AC$ и отрезком $A_1C$. В этом треугольнике $AC$ является гипотенузой, а $AA_1$ — катетом. В любом прямоугольном треугольнике длина гипотенузы не меньше длины любого из катетов. Следовательно, $AC \ge AA_1$, что в наших обозначениях записывается как $b \ge h_a$.

Сопоставим это неравенство с первым условием из задачи ($h_a \ge a$). Получаем следующую цепочку неравенств: $b \ge h_a \ge a$. Из этой цепочки следует, что $b \ge a$.

Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $BB_1C$. В нём гипотенузой является сторона $BC=a$, а катетом — высота $BB_1=h_b$. Следовательно, $BC \ge BB_1$, или $a \ge h_b$.

Сопоставим это неравенство со вторым условием из задачи ($h_b \ge b$). Получаем цепочку неравенств: $a \ge h_b \ge b$. Отсюда следует, что $a \ge b$.

Таким образом, мы получили два неравенства: $b \ge a$ и $a \ge b$. Они могут выполняться одновременно только в случае равенства, то есть $a = b$. Это означает, что стороны $BC$ и $AC$ равны, и, следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Теперь докажем, что треугольник $ABC$ является прямоугольным. Из того, что $a=b$, и ранее полученного неравенства $b \ge h_a$ следует, что $a \ge h_a$. Сравнивая это с первым условием задачи $h_a \ge a$, мы можем заключить, что возможно только равенство: $h_a = a$.

Рассмотрим снова прямоугольный треугольник $AA_1C$. Мы знаем, что его гипотенуза $AC=b$ и катет $AA_1=h_a$. Поскольку мы доказали, что $a=b$ и $h_a=a$, то получается, что в этом треугольнике гипотенуза $AC$ равна катету $AA_1$. Такое возможно только в вырожденном случае, когда длина второго катета ($A_1C$) равна нулю. Это означает, что точка $A_1$ (основание высоты) совпадает с вершиной $C$.

По определению, высота $AA_1$ перпендикулярна прямой, на которой лежит сторона $BC$. Если точка $A_1$ совпадает с $C$, то это означает, что отрезок $AC$ перпендикулярен отрезку $BC$. Следовательно, угол $\angle ACB$ является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$.

Итак, мы доказали, что треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AC=BC$) и прямоугольным ($\angle C = 90^\circ$).

Ответ: Утверждение доказано: треугольник $ABC$ является равнобедренным и прямоугольным.