Номер 447, страница 119 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 5. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 447, страница 119.

447 Даны две точки A и B и прямая а, не проходящая через эти точки. На прямой а постройте точку, равноудалённую от точек A и B. Всегда ли задача имеет решение?

На прямой a постройте точку, равноудаленную от точек А и В

Пусть искомая точка на прямой a будет обозначена как M. По условию задачи, эта точка должна быть равноудалена от точек A и B, что означает, что расстояние от M до A должно быть равно расстоянию от M до B. Математически это записывается как $MA = MB$.

Множество всех точек на плоскости, которые равноудалены от двух заданных точек (в нашем случае A и B), образуют прямую, называемую серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки (отрезок AB). Обозначим этот серединный перпендикуляр как прямую p.

Таким образом, искомая точка M должна удовлетворять двум условиям одновременно:

• M принадлежит прямой a (по условию задачи).
• M принадлежит серединному перпендикуляру p к отрезку AB (так как $MA = MB$).

Следовательно, точка M является точкой пересечения прямой a и серединного перпендикуляра p.

Алгоритм построения:

1. Соединить точки A и B, получив отрезок AB.
2. Построить серединный перпендикуляр p к отрезку AB. (Это делается с помощью циркуля и линейки: из точек A и B как из центров проводятся две дуги окружности одинакового радиуса, большего половины длины AB; прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, и есть серединный перпендикуляр).
3. Найти точку пересечения построенного серединного перпендикуляра p и данной прямой a. Эта точка и будет искомой точкой M.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения данной прямой a и серединного перпендикуляра к отрезку AB.

Всегда ли задача имеет решение?

Как было установлено выше, решение задачи — это точка пересечения прямой a и серединного перпендикуляра p к отрезку AB. Существование и количество решений зависит от взаимного расположения этих двух прямых.

Возможны три случая:

1. Прямые a и p пересекаются. Это произойдет, если они не параллельны. В этом случае они имеют ровно одну точку пересечения. Задача имеет единственное решение. Это наиболее общий случай.
2. Прямые a и p параллельны и не совпадают. В этом случае у них нет общих точек, и, следовательно, задача не имеет решений. Серединный перпендикуляр p всегда перпендикулярен прямой AB. Значит, этот случай будет иметь место, если данная прямая a также перпендикулярна прямой AB, но при этом не проходит через середину отрезка AB.
3. Прямые a и p совпадают. Это произойдет, если данная прямая a сама является серединным перпендикуляром к отрезку AB. В этом случае любая точка прямой a равноудалена от A и B, и задача имеет бесконечно много решений.

Поскольку существует случай (случай 2), когда задача не имеет решения, то на вопрос "Всегда ли задача имеет решение?" следует дать отрицательный ответ.

Ответ: Нет, не всегда. Задача не имеет решения в том случае, если прямая a параллельна серединному перпендикуляру к отрезку AB, но не совпадает с ним.