Номер 446, страница 119 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 3 и 4. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 446, страница 119.

446 Постройте треугольник по периметру и двум углам.

Пусть дан отрезок, равный по длине периметру $P$, и два угла $?$ и $?$. Необходимо построить треугольник $ABC$, у которого $?B = ?$, $?C = ?$, а сумма длин сторон $AB + BC + CA = P$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. На прямой, содержащей сторону $BC$, отложим от точки $B$ в сторону, противоположную лучу $BC$, отрезок $DB$, равный стороне $AB$. А от точки $C$ в сторону, противоположную лучу $CB$, отложим отрезок $CE$, равный стороне $AC$.

В результате мы получим отрезок $DE$, длина которого равна $DB + BC + CE = AB + BC + AC = P$.

Рассмотрим треугольник $ADB$. Так как по построению $DB = AB$, он является равнобедренным, и его углы при основании $AD$ равны: $?DAB = ?ADB$. Угол $?ABD$ треугольника $ADB$ и угол $?ABC$ искомого треугольника являются смежными, поэтому их сумма равна $180°$, то есть $?ABD = 180° - ?ABC = 180° - ?$.

Сумма углов в треугольнике $ADB$ равна $180°$: $?DAB + ?ADB + ?ABD = 180°$. Поскольку $?DAB = ?ADB$, то $2 \cdot ?ADB + (180° - ?) = 180°$. Отсюда $2 \cdot ?ADB = ?$, и, следовательно, $?ADB = ? / 2$.

Аналогично рассмотрим треугольник $ACE$. Он равнобедренный ($AC = CE$), поэтому $?CAE = ?AEC$. Угол $?ACE$ и угол $?ACB$ являются смежными, $?ACE = 180° - ?ACB = 180° - ?$. Из суммы углов треугольника $ACE$: $2 \cdot ?AEC + (180° - ?) = 180°$, откуда $?AEC = ? / 2$.

Таким образом, мы можем построить вспомогательный треугольник $ADE$. Мы знаем его сторону $DE$ (равную периметру $P$) и два прилежащих к ней угла: $?ADE = ? / 2$ и $?AED = ? / 2$. Вершина $A$ этого треугольника будет искомой вершиной треугольника $ABC$.

Вершины $B$ и $C$ лежат на отрезке $DE$. Так как треугольник $ADB$ равнобедренный с основанием $AD$, точка $B$ равноудалена от $A$ и $D$ и, следовательно, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AD$. Аналогично, точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AE$.

Построение

1. Строим отрезок $DE$, длина которого равна заданному периметру $P$.
2. С помощью циркуля и линейки строим биссектрисы данных углов $?$ и $?$, чтобы получить углы, равные $? / 2$ и $? / 2$.
3. От луча $DE$ в одной полуплоскости строим угол $?EDX = ? / 2$.
4. От луча $ED$ в той же полуплоскости строим угол $?DEY = ? / 2$.
5. Лучи $DX$ и $EY$ пересекаются в точке $A$.
6. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AD$. Точка его пересечения с отрезком $DE$ есть вершина $B$.
7. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AE$. Точка его пересечения с отрезком $DE$ есть вершина $C$.
8. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условиям задачи.

1. Периметр:
По построению, точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AD$. Следовательно, по свойству серединного перпендикуляра, $AB = DB$. Аналогично, точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AE$, поэтому $AC = CE$.
Периметр треугольника $ABC$ равен $P_{ABC} = AB + BC + CA$.
Заменяя равные отрезки, получаем: $P_{ABC} = DB + BC + CE$.
Так как точки $D, B, C, E$ лежат на одной прямой в указанном порядке, то $DB + BC + CE = DE$.
Длина отрезка $DE$ по построению равна заданному периметру $P$. Следовательно, $P_{ABC} = P$.

2. Углы:
Рассмотрим треугольник $ADB$. Он равнобедренный, так как $AB = DB$. Значит, углы при основании $AD$ равны: $?DAB = ?ADB$. По построению $?ADB = ? / 2$. Сумма углов в треугольнике $ADB$ равна $180°$, поэтому угол при вершине $B$, $?ABD = 180° - (?DAB + ?ADB) = 180° - (?/2 + ?/2) = 180° - ?$.
Поскольку точки $D, B, C$ лежат на одной прямой, углы $?ABD$ и $?ABC$ являются смежными, то есть $?ABD + ?ABC = 180°$. Отсюда находим искомый угол $?ABC$: $?ABC = 180° - ?ABD = 180° - (180° - ?) = ?$.
Аналогично для угла $C$. Рассмотрим треугольник $ACE$. Он равнобедренный ($AC = CE$), поэтому $?CAE = ?AEC = ? / 2$. Угол при вершине $C$, $?ACE = 180° - (?CAE + ?AEC) = 180° - (?/2 + ?/2) = 180° - ?$. Углы $?ACB$ и $?ACE$ являются смежными, их сумма равна $180°$. Отсюда $?ACB = 180° - ?ACE = 180° - (180° - ?) = ?$.
Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет заданные углы $?$ и $?$ и заданный периметр $P$.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда возможно построить треугольник $ADE$. Для этого необходимо, чтобы лучи $DX$ и $EY$, построенные на шагах 3 и 4, пересеклись. Это произойдет, если сумма углов $?ADE$ и $?AED$ будет меньше $180°$: $?ADE + ?AED = ?/2 + ?/2 < 180°$, что эквивалентно условию $? + ? < 360°$.

Однако, поскольку $?$ и $?$ — это углы одного треугольника, их сумма должна быть меньше $180°$ (то есть $? + ? < 180°$). Это условие является более строгим и гарантирует, что $?/2 + ?/2 < 90°$. Следовательно, лучи всегда пересекутся, и точка $A$ будет определена однозначно. Все последующие построения также однозначны.

Таким образом, задача всегда имеет единственное решение при условии, что периметр $P > 0$ и углы $?, ?$ таковы, что $? > 0$, $? > 0$ и $? + ? < 180°$.

Ответ: Описанный алгоритм построения позволяет однозначно построить искомый треугольник по заданному периметру и двум углам при условии, что сумма углов меньше 180°.