Номер 445, страница 119 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 3 и 4. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 445, страница 119.

445 Постройте треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведённой из вершины другого угла.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Нам даны его периметр $P$, угол $\angle B = \beta$ и высота $h_a$, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$.

Продолжим сторону $BC$ за точки $B$ и $C$. На продолжении отложим отрезок $BE = AB$ и отрезок $CD = AC$. Тогда длина отрезка $ED$ будет равна $EB + BC + CD = AB + BC + AC = P$.

Рассмотрим треугольник $ABE$. Он равнобедренный, так как $AB = BE$. Угол $\angle ABC$ является внешним для треугольника $ABE$ при вершине $B$. Следовательно, $\angle ABC = \angle AEB + \angle BAE$. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны ($\angle AEB = \angle BAE$), получаем $\beta = 2\angle AEB$, откуда $\angle AEB = \beta / 2$.

Высота $h_a$ треугольника $ABC$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $A$ на прямую $BC$. Так как точки $E$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной прямой, то расстояние от точки $A$ до прямой $ED$ также равно $h_a$.

Таким образом, вершина $A$ искомого треугольника является точкой пересечения двух геометрических мест точек:
1. Прямой, параллельной отрезку $ED$ и находящейся на расстоянии $h_a$ от него.
2. Луча, выходящего из точки $E$ под углом $\beta/2$ к отрезку $ED$.

Вершины $B$ и $C$ лежат на отрезке $ED$. Так как $AB = EB$, точка $B$ равноудалена от $A$ и $E$, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AE$. Аналогично, так как $AC = CD$, точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AD$.

Этот анализ позволяет выполнить построение.

Построение

1. На произвольной прямой $m$ откладываем отрезок $ED$, длина которого равна заданному периметру $P$.
2. Строим прямую $l$, параллельную прямой $m$ и находящуюся на расстоянии $h_a$ от нее. Для этого в любой точке прямой $m$ восстанавливаем перпендикуляр, откладываем на нем отрезок длиной $h_a$ и через его конец проводим прямую, параллельную $m$.
3. Строим угол, равный данному углу $\beta$, и делим его пополам с помощью циркуля и линейки, получая угол $\beta/2$.
4. В точке $E$ строим луч $k$, образующий с отрезком $ED$ угол, равный $\beta/2$. Луч должен быть направлен в ту же полуплоскость относительно прямой $m$, где построена прямая $l$.
5. Точка пересечения луча $k$ и прямой $l$ является вершиной $A$ искомого треугольника.
6. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AE$. Точка его пересечения с отрезком $ED$ является вершиной $B$.
7. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AD$. Точка его пересечения с отрезком $ED$ является вершиной $C$.
8. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условиям задачи.

• Периметр: Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон $AB + BC + AC$. По построению, точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $AE$, следовательно, $AB = EB$. Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к $AD$, следовательно, $AC = CD$. Тогда периметр равен $EB + BC + CD$. Так как точки $B$ и $C$ лежат на отрезке $ED$, эта сумма равна длине отрезка $ED$. По построению $ED = P$. Таким образом, периметр треугольника $ABC$ равен $P$.
• Угол: Угол $\angle ABC$ является внешним углом для равнобедренного треугольника $ABE$. Следовательно, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle ABC = \angle AEB + \angle BAE$. Так как $\triangle ABE$ равнобедренный ($AB=EB$), то $\angle AEB = \angle BAE$, и $\angle ABC = 2\angle AEB$. По построению $\angle AEB = \beta/2$. Значит, $\angle ABC = 2 \cdot (\beta/2) = \beta$.
• Высота: Высота из вершины $A$ в треугольнике $ABC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $A$ на прямую $BC$. По построению, вершина $A$ лежит на прямой $l$, которая параллельна прямой $m$ (содержащей отрезок $BC$) и удалена от нее на расстояние $h_a$. Следовательно, высота из вершины $A$ равна $h_a$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Построение всегда возможно, если заданные величины позволяют сформировать треугольник.
1. Построение точки $A$ возможно однозначно, так как луч $k$ (с углом $\beta/2$ к $ED$, где $0 < \beta/2 < 90^\circ$) всегда пересечет параллельную ему прямую $l$ в единственной точке.
2. Построение точек $B$ и $C$ также однозначно, так как серединные перпендикуляры пересекают прямую $ED$ в единственных точках.
3. Для существования невырожденного треугольника $ABC$ необходимо, чтобы точки $B$ и $C$ были различны и лежали между $E$ и $D$. Это накладывает ограничение на соотношение между $P$, $h_a$ и $\beta$. Задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если выполняется условие: $P > h_a \cot(\beta/2)$ для $0 < \beta \le 90^\circ$ и $P > h_a / \sin(\beta)$ для $90^\circ < \beta < 180^\circ$. Если это условие не выполнено, решения не существует.

Ответ: Построение треугольника и доказательство его свойств описаны выше. Задача имеет единственное решение при выполнении определённых условий, связывающих периметр, угол и высоту.