Номер 438, страница 117 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 3 и 4. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 438, страница 117.

438 Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведённых из этой же вершины.

Рассмотрим произвольный неравнобедренный треугольник $ABC$. Пусть $BH$ — высота, $BL$ — биссектриса, а $BM$ — медиана, проведённые из вершины $B$ к стороне $AC$. Точки $H, L, M$ являются основаниями этих отрезков и лежат на прямой $AC$.

Обозначим длины сторон треугольника: $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$. Так как треугольник по условию неравнобедренный, то при рассмотрении высоты, биссектрисы и медианы из вершины $B$ мы имеем $a \neq c$.

Для доказательства утверждения воспользуемся координатным методом. Расположим треугольник на координатной плоскости так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0, 0)$, а вершина $C$ — на положительной части оси $Ox$. Тогда координаты вершины $C$ будут $(b, 0)$. Координаты оснований $H, L, M$ — это их абсциссы на оси $Ox$.

1. Нахождение координаты точки M (основания медианы)
Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам, поэтому $M$ — середина отрезка $AC$. Её координата $x_M$ равна: $x_M = \frac{b}{2}$

2. Нахождение координаты точки L (основания биссектрисы)
По свойству биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{AL}{LC} = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a}$ Поскольку точка $L$ лежит на отрезке $AC$, то $AL = x_L$ и $LC = b - x_L$. Получаем уравнение: $\frac{x_L}{b - x_L} = \frac{c}{a}$ $a \cdot x_L = c(b - x_L) \implies a \cdot x_L = cb - c \cdot x_L \implies x_L(a+c) = cb$ Отсюда находим координату точки $L$: $x_L = \frac{bc}{a+c}$

3. Нахождение координаты точки H (основания высоты)
Высота $BH$ перпендикулярна стороне $AC$. Координата точки $H$ — это абсцисса точки $B$. Обозначим координаты вершины $B$ как $(x_B, y_B)$, тогда $x_H = x_B$. По теореме косинусов для угла $A$ в треугольнике $ABC$: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ Из прямоугольного треугольника $ABH$ (в случае острого угла $A$) имеем $x_H = c \cos A$. Это соотношение остаётся верным и в случае, если угол $A$ тупой. Выразим $\cos A$ из теоремы косинусов: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ Подставим это выражение для нахождения координаты точки $H$: $x_H = c \cdot \left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) = \frac{b^2+c^2-a^2}{2b}$

4. Сравнение положений точек H, L, M
Чтобы доказать, что точка $L$ лежит между точками $H$ и $M$, достаточно показать, что разности $(x_L - x_M)$ и $(x_L - x_H)$ имеют противоположные знаки. Это равносильно тому, что их произведение отрицательно.

Вычислим первую разность: $x_L - x_M = \frac{bc}{a+c} - \frac{b}{2} = \frac{2bc - b(a+c)}{2(a+c)} = \frac{2bc - ab - bc}{2(a+c)} = \frac{bc - ab}{2(a+c)} = \frac{b(c-a)}{2(a+c)}$

Вычислим вторую разность: $x_L - x_H = \frac{bc}{a+c} - \frac{b^2+c^2-a^2}{2b} = \frac{2b^2c - (a+c)(b^2+c^2-a^2)}{2b(a+c)}$ Преобразуем числитель этой дроби: $2b^2c - (ab^2+ac^2-a^3+cb^2+c^3-ca^2) = b^2c - ab^2 - ac^2 + a^3 - c^3 + a^2c$ $= (a^3 - c^3) + (a^2c - ac^2) - (ab^2 - b^2c) = (a-c)(a^2+ac+c^2) + ac(a-c) - b^2(a-c)$ $= (a-c)(a^2+ac+c^2+ac-b^2) = (a-c)((a+c)^2 - b^2) = (a-c)(a+c-b)(a+c+b)$ Таким образом, вторая разность равна: $x_L - x_H = \frac{(a-c)(a+c-b)(a+c+b)}{2b(a+c)}$

Теперь найдём произведение этих разностей: $(x_L - x_M)(x_L - x_H) = \left(\frac{b(c-a)}{2(a+c)}\right) \cdot \left(\frac{(a-c)(a+c-b)(a+c+b)}{2b(a+c)}\right)$ Заменим $(c-a)$ на $-(a-c)$: $(x_L - x_M)(x_L - x_H) = \left(\frac{-b(a-c)}{2(a+c)}\right) \cdot \left(\frac{(a-c)(a+c-b)(a+c+b)}{2b(a+c)}\right) = \frac{-b(a-c)^2(a+c-b)(a+c+b)}{4b(a+c)^2}$ Сократив $b$, получаем: $(x_L - x_M)(x_L - x_H) = -\frac{(a-c)^2(a+c-b)(a+c+b)}{4(a+c)^2}$

Проанализируем знак полученного выражения. Множитель $(a-c)^2$ строго положителен, так как треугольник неравнобедренный ($a \neq c$). Множитель $(a+c)^2$ также положителен. Сумма $(a+c+b)$ — это периметр треугольника, она положительна. Разность $(a+c-b)$ положительна по неравенству треугольника (сумма двух сторон всегда больше третьей). Таким образом, все множители в дроби, кроме знака минус перед ней, строго положительны. Следовательно, всё произведение отрицательно: $(x_L - x_M)(x_L - x_H) < 0$

Это означает, что числа $x_M$ и $x_H$ находятся по разные стороны от числа $x_L$. Таким образом, точка $L$ (основание биссектрисы) лежит на отрезке между точками $H$ (основание высоты) и $M$ (основание медианы). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы лежит между основаниями медианы и высоты, проведённых из той же вершины, доказано.