Номер 432, страница 117 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 3 и 4. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 432, страница 117.

432 В треугольнике ABC сторона AB больше стороны АС, отрезок AD — биссектриса. Докажите, что ∠ADB > ∠ADC и BD > CD.

Дано: в треугольнике $ABC$ сторона $AB$ больше стороны $AC$. Отрезок $AD$ является биссектрисой угла $A$.

Требуется доказать два утверждения: 1) $\angle ADB > \angle ADC$ и 2) $BD > CD$.

Доказательство, что $\angle ADB > \angle ADC$

Рассмотрим треугольник $ACD$. Угол $\angle ADB$ является внешним углом для этого треугольника. По теореме о внешнем угле треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $$ \angle ADB = \angle C + \angle CAD $$

Аналогично, рассмотрим треугольник $ABD$. Угол $\angle ADC$ является для него внешним углом. Следовательно: $$ \angle ADC = \angle B + \angle BAD $$

По условию задачи, отрезок $AD$ является биссектрисой угла $A$, из чего следует, что $\angle CAD = \angle BAD$.

Также по условию $AB > AC$. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В треугольнике $ABC$ стороне $AB$ противолежит угол $\angle C$, а стороне $AC$ противолежит угол $\angle B$. Таким образом, из неравенства $AB > AC$ следует неравенство $\angle C > \angle B$.

Теперь сравним выражения для углов $\angle ADB$ и $\angle ADC$. Мы имеем $\angle C > \angle B$ и $\angle CAD = \angle BAD$. Если к большему значению ($\angle C$) прибавить то же значение, что и к меньшему ($\angle B$), результат также будет больше. Следовательно, $\angle C + \angle CAD > \angle B + \angle BAD$, что означает $\angle ADB > \angle ADC$.
Ответ: что и требовалось доказать.

Доказательство, что $BD > CD$

Для доказательства этого неравенства воспользуемся свойством биссектрисы треугольника (также известным как теорема о биссектрисе). Оно гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. $$ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} $$ (Данное свойство можно доказать с помощью теоремы синусов. Для $\triangle ABD$: $\frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$. Для $\triangle ACD$: $\frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$. Учитывая, что $\angle BAD = \angle CAD$ и $\sin(\angle ADB) = \sin(\angle ADC)$ как синусы смежных углов, при делении первого уравнения на второе получается искомое соотношение).

По условию задачи нам дано, что $AB > AC$. Это означает, что отношение длин этих сторон $\frac{AB}{AC} > 1$.

Так как $\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$ и $\frac{AB}{AC} > 1$, то и $\frac{BD}{CD} > 1$. Умножив обе части этого неравенства на $CD$ (длина отрезка всегда положительна), мы получаем искомое неравенство $BD > CD$.
Ответ: что и требовалось доказать.