Номер 427, страница 117 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 3 и 4. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 427, страница 117.

427 Докажите, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведённая из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны.

Для доказательства утверждения рассмотрим треугольник $ABC$, в котором из вершины $A$ к стороне $BC$ проведена медиана $AM$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $BM = MC = \frac{1}{2}BC$. Нам нужно установить связь между типом угла $\angle BAC$ (острый, прямой или тупой) и соотношением длины медианы $AM$ к половине длины стороны $BC$.

Доказательство разобьем на три случая, соответствующих условию задачи.

Доказательство того, что угол является острым, если медиана больше половины противоположной стороны

Пусть медиана $AM$ больше половины стороны $BC$, то есть $AM > \frac{1}{2}BC$. Так как $BM = MC = \frac{1}{2}BC$, то из этого следует, что $AM > BM$ и $AM > MC$.

Рассмотрим два треугольника, на которые медиана $AM$ делит треугольник $ABC$: $\triangle AMB$ и $\triangle AMC$. Воспользуемся свойством, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

В треугольнике $\triangle AMB$, так как сторона $AM > BM$, угол, лежащий напротив стороны $AM$ (угол $\angle B$), больше угла, лежащего напротив стороны $BM$ (угол $\angle BAM$). Таким образом, получаем неравенство: $\angle B > \angle BAM$.

Аналогично, в треугольнике $\triangle AMC$, так как сторона $AM > MC$, угол, лежащий напротив стороны $AM$ (угол $\angle C$), больше угла, лежащего напротив стороны $MC$ (угол $\angle CAM$). Таким образом, получаем неравенство: $\angle C > \angle CAM$.

Сложив эти два неравенства, получим: $\angle B + \angle C > \angle BAM + \angle CAM$.

Сумма углов $\angle BAM + \angle CAM$ равна углу $\angle BAC$. Следовательно, $\angle B + \angle C > \angle BAC$.

В любом треугольнике сумма углов равна $180^\circ$, поэтому для $\triangle ABC$ верно: $\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Отсюда $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle BAC$.

Подставим это выражение в полученное нами неравенство: $180^\circ - \angle BAC > \angle BAC$.

Решая это неравенство, находим: $180^\circ > 2 \cdot \angle BAC$, или $\angle BAC < 90^\circ$.

Это означает, что угол $\angle BAC$ является острым, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что угол является острым, если медиана, проведённая из его вершины, больше половины противоположной стороны.

Доказательство того, что угол является прямым, если медиана равна половине противоположной стороны

Пусть медиана $AM$ равна половине стороны $BC$, то есть $AM = \frac{1}{2}BC$. Это означает, что $AM = BM = MC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Так как $AM = BM$, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle B = \angle BAM$.

Аналогично, треугольник $\triangle AMC$ также является равнобедренным, так как $AM = MC$. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle C = \angle CAM$.

Сложим полученные равенства: $\angle B + \angle C = \angle BAM + \angle CAM$.

Правая часть этого равенства есть угол $\angle BAC$, поэтому $\angle B + \angle C = \angle BAC$.

Подставим это соотношение в формулу суммы углов треугольника $ABC$ ($\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^\circ$):

$\angle BAC + \angle BAC = 180^\circ$

$2 \cdot \angle BAC = 180^\circ$

$\angle BAC = 90^\circ$

Таким образом, угол $\angle BAC$ является прямым, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что угол является прямым, если медиана, проведённая из его вершины, равна половине противоположной стороны.

Доказательство того, что угол является тупым, если медиана меньше половины противоположной стороны

Пусть медиана $AM$ меньше половины стороны $BC$, то есть $AM < \frac{1}{2}BC$. Это означает, что $AM < BM$ и $AM < MC$.

В треугольнике $\triangle AMB$, так как сторона $AM < BM$, угол, лежащий напротив стороны $AM$ (угол $\angle B$), меньше угла, лежащего напротив стороны $BM$ (угол $\angle BAM$). Таким образом, $\angle B < \angle BAM$.

Аналогично, в треугольнике $\triangle AMC$, так как сторона $AM < MC$, угол, лежащий напротив стороны $AM$ (угол $\angle C$), меньше угла, лежащего напротив стороны $MC$ (угол $\angle CAM$). Таким образом, $\angle C < \angle CAM$.

Сложив эти два неравенства, получаем: $\angle B + \angle C < \angle BAM + \angle CAM$.

Это означает, что $\angle B + \angle C < \angle BAC$.

Подставим в это неравенство выражение для суммы углов $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle BAC$:

$180^\circ - \angle BAC < \angle BAC$

Решая неравенство, находим: $180^\circ < 2 \cdot \angle BAC$, или $\angle BAC > 90^\circ$.

Это означает, что угол $\angle BAC$ является тупым, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что угол является тупым, если медиана, проведённая из его вершины, меньше половины противоположной стороны.