Номер 422, страница 116 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Задачи повышенной трудности. Задачи к главам 1 и 2 - номер 422, страница 116.

Условие.

422 Две стороны и угол одного треугольника равны каким-то двум сторонам и углу другого треугольника. Могут ли эти треугольники быть неравными?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Да, такие треугольники могут быть неравными. Это происходит в том случае, если равный угол в треугольниках не является углом, заключённым между двумя равными сторонами.

Стандартный признак равенства треугольников по двум сторонам и углу (первый признак) требует, чтобы угол был расположен между этими сторонами. В условии задачи это не уточняется. Если же заданный угол не лежит между заданными сторонами, а, например, противолежит одной из них, то треугольники не всегда будут равны. Этот случай известен как SSA (Side-Side-Angle, или сторона-сторона-угол).

Рассмотрим, как можно построить два разных треугольника с одинаковым набором из двух сторон и одного угла.

Пусть нам даны длины сторон $a$ и $b$, и величина угла $\alpha$, который противолежит стороне $a$.
1. Построим луч $AD$.
2. От точки $A$ отложим второй луч $AE$ так, чтобы угол $\angle EAD$ был равен $\alpha$.
3. На луче $AE$ отложим отрезок $AC$ длиной $b$.
4. Теперь необходимо найти на луче $AD$ такую точку $B$, чтобы длина отрезка $BC$ была равна $a$. Для этого проведём окружность с центром в точке $C$ и радиусом $a$.

Если высота, опущенная из точки $C$ на прямую $AD$, равная $h = b \sin \alpha$, меньше, чем длина стороны $a$, а сторона $a$, в свою очередь, меньше стороны $b$ (то есть выполняется условие $b \sin \alpha < a < b$), то окружность пересечёт луч $AD$ в двух различных точках. Назовём их $B_1$ и $B_2$.

В результате мы получим два разных треугольника: $\triangle AB_1C$ и $\triangle AB_2C$.
В $\triangle AB_1C$ имеем: сторона $AC=b$, сторона $B_1C=a$, угол $\angle A=\alpha$.
В $\triangle AB_2C$ имеем: сторона $AC=b$, сторона $B_2C=a$, угол $\angle A=\alpha$.

Оба треугольника удовлетворяют исходному условию: у них равны две стороны ($AC$ и сторона длиной $a$) и угол ($\angle A$). Однако, очевидно, что $\triangle AB_1C$ и $\triangle AB_2C$ не равны, так как их третьи стороны $AB_1$ и $AB_2$ имеют разную длину, и другие углы у них также не равны.

Таким образом, существование двух сторон и угла одного треугольника, равных двум сторонам и углу другого, не гарантирует равенства этих треугольников.

Ответ: Да, могут.