Номер 423, страница 116 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 1 и 2. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 423, страница 116.

423 Отрезки AB и CD пересекаются в точке О. Докажите, что OC = OD, если AC = AO = BO = BD.

Рассмотрим треугольники $ \triangle AOC $ и $ \triangle BOD $, которые образованы пересечением отрезков $ AB $ и $ CD $ в точке $ O $.

По условию задачи дано, что $ AC = AO = BO = BD $. Для доказательства равенства $ OC = OD $, мы сравним треугольники $ \triangle AOC $ и $ \triangle BOD $.

1. В треугольнике $ \triangle AOC $ по условию стороны $ AC = AO $. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, также равны. Стороне $ AC $ противолежит угол $ \angle AOC $, а стороне $ AO $ противолежит угол $ \angle ACO $. Следовательно, $ \angle AOC = \angle ACO $.

2. Аналогично, в треугольнике $ \triangle BOD $ по условию стороны $ BD = BO $. Этот треугольник также является равнобедренным. Углы, противолежащие равным сторонам $ BD $ и $ BO $, это $ \angle BOD $ и $ \angle BDO $ соответственно. Следовательно, $ \angle BOD = \angle BDO $.

3. Углы $ \angle AOC $ и $ \angle BOD $ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении отрезков $ AB $ и $ CD $. Вертикальные углы всегда равны, поэтому $ \angle AOC = \angle BOD $.

4. Объединив равенства из предыдущих пунктов, получаем: так как $ \angle ACO = \angle AOC $, $ \angle BDO = \angle BOD $ и $ \angle AOC = \angle BOD $, то все эти четыре угла равны между собой: $ \angle ACO = \angle BDO $.

5. Теперь докажем равенство треугольников $ \triangle AOC $ и $ \triangle BOD $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). У нас есть равенство сторон $ AO = BO $ (по условию) и равенство прилежащих к ним углов $ \angle AOC = \angle BOD $ (как вертикальных). Найдем вторые прилежащие углы: $ \angle CAO $ и $ \angle DBO $.

Сумма углов в любом треугольнике равна $ 180^\circ $.
Для $ \triangle AOC $: $ \angle CAO = 180^\circ - (\angle AOC + \angle ACO) $. Так как $ \angle AOC = \angle ACO $, то $ \angle CAO = 180^\circ - 2 \cdot \angle AOC $.
Для $ \triangle BOD $: $ \angle DBO = 180^\circ - (\angle BOD + \angle BDO) $. Так как $ \angle BOD = \angle BDO $, то $ \angle DBO = 180^\circ - 2 \cdot \angle BOD $.
Поскольку $ \angle AOC = \angle BOD $, правые части этих выражений равны, а значит $ \angle CAO = \angle DBO $.

6. Таким образом, в треугольниках $ \triangle AOC $ и $ \triangle BOD $:
- $ AO = BO $ (по условию).
- $ \angle AOC = \angle BOD $ (прилежащий угол, как вертикальные).
- $ \angle CAO = \angle DBO $ (прилежащий угол, как доказано выше).

Следовательно, $ \triangle AOC \cong \triangle BOD $ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $ OC $ в $ \triangle AOC $ лежит напротив угла $ \angle CAO $, а сторона $ OD $ в $ \triangle BOD $ лежит напротив равного ему угла $ \angle DBO $. Значит, эти стороны являются соответствующими и, следовательно, равными: $ OC = OD $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ OC = OD $ доказано.