Номер 421, страница 116 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 1 и 2. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 421, страница 116.

421 Сторона и два угла одного треугольника равны какой-то стороне и каким-то двум углам другого. Могут ли эти треугольники быть неравными?

Да, такие треугольники могут быть неравными.

Рассмотрим, почему это возможно. Пусть даны два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$.

По условию, два угла одного треугольника равны двум углам другого. Пусть в $\triangle ABC$ есть углы $\alpha$ и $\beta$, и в $\triangle A'B'C'$ также есть углы $\alpha$ и $\beta$. Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, третьи углы в этих треугольниках также будут равны: $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. Таким образом, оба треугольника имеют одинаковый набор углов $\{\alpha, \beta, \gamma\}$, а значит, они подобны.

Также по условию, некоторая сторона одного треугольника равна некоторой стороне другого. Пусть эта сторона имеет длину $s$.

Треугольники будут равны (конгруэнтны) только в том случае, если их соответствующие стороны равны. Неравенство треугольников возможно, если равная сторона $s$ в этих треугольниках занимает несоответствующее положение относительно равных углов.

Это происходит, когда в одном треугольнике сторона $s$ лежит напротив одного угла (например, $\alpha$), а в другом треугольнике — напротив другого угла (например, $\beta$), при условии, что эти углы не равны ($\alpha \neq \beta$).

Приведем конкретный пример.

Рассмотрим два треугольника, у каждого из которых есть углы $30^\circ$ и $90^\circ$. Третий угол в обоих треугольниках будет равен $180^\circ - (90^\circ + 30^\circ) = 60^\circ$. Итак, оба треугольника имеют углы $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$.

Пусть по условию у них есть равная сторона длиной $12$ см.

Треугольник 1 ($\triangle ABC$):

Пусть $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $\angle C = 90^\circ$.
Пусть сторона, равная $12$ см, лежит напротив угла в $30^\circ$. То есть, катет $a = 12$ см.
Найдем остальные стороны по теореме синусов: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.

$\frac{12}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{c}{\sin 90^\circ}$

$\frac{12}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{c}{1}$

$24 = \frac{b}{\sqrt{3}/2} \implies b = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см.

$24 = c \implies c = 24$ см.

Стороны первого треугольника: $12$ см, $12\sqrt{3}$ см, $24$ см.

Треугольник 2 ($\triangle A'B'C'$):

Пусть $\angle A' = 30^\circ$, $\angle B' = 60^\circ$, $\angle C' = 90^\circ$.
Пусть сторона, равная $12$ см, лежит напротив угла в $60^\circ$. То есть, катет $b' = 12$ см.
Найдем остальные стороны по теореме синусов: $\frac{a'}{\sin A'} = \frac{b'}{\sin B'} = \frac{c'}{\sin C'}$.

$\frac{a'}{\sin 30^\circ} = \frac{12}{\sin 60^\circ} = \frac{c'}{\sin 90^\circ}$

$\frac{a'}{1/2} = \frac{12}{\sqrt{3}/2} = \frac{c'}{1}$

$\frac{12}{\sqrt{3}/2} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$.

$\frac{a'}{1/2} = 8\sqrt{3} \implies a' = 4\sqrt{3}$ см.

$c' = 8\sqrt{3}$ см.

Стороны второго треугольника: $4\sqrt{3}$ см, $12$ см, $8\sqrt{3}$ см.

Сравнение треугольников:

У обоих треугольников есть два равных угла (например, $30^\circ$ и $90^\circ$) и одна равная сторона ($12$ см).
Однако набор сторон первого треугольника $\{12, 12\sqrt{3}, 24\}$ не совпадает с набором сторон второго треугольника $\{4\sqrt{3}, 12, 8\sqrt{3}\}$. Следовательно, эти треугольники не равны.

Ответ: Да, могут.