Номер 421, страница 116 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Задачи повышенной трудности. Задачи к главам 1 и 2 - номер 421, страница 116.

Условие.

421 Сторона и два угла одного треугольника равны какой-то стороне и каким-то двум углам другого. Могут ли эти треугольники быть неравными?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Да, такие треугольники могут быть неравными.

Рассмотрим, почему это возможно. Пусть даны два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$.

По условию, два угла одного треугольника равны двум углам другого. Пусть в $\triangle ABC$ есть углы $\alpha$ и $\beta$, и в $\triangle A'B'C'$ также есть углы $\alpha$ и $\beta$. Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, третьи углы в этих треугольниках также будут равны: $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. Таким образом, оба треугольника имеют одинаковый набор углов $\{\alpha, \beta, \gamma\}$, а значит, они подобны.

Также по условию, некоторая сторона одного треугольника равна некоторой стороне другого. Пусть эта сторона имеет длину $s$.

Треугольники будут равны (конгруэнтны) только в том случае, если их соответствующие стороны равны. Неравенство треугольников возможно, если равная сторона $s$ в этих треугольниках занимает несоответствующее положение относительно равных углов.

Это происходит, когда в одном треугольнике сторона $s$ лежит напротив одного угла (например, $\alpha$), а в другом треугольнике — напротив другого угла (например, $\beta$), при условии, что эти углы не равны ($\alpha \neq \beta$).

Приведем конкретный пример.

Рассмотрим два треугольника, у каждого из которых есть углы $30^\circ$ и $90^\circ$. Третий угол в обоих треугольниках будет равен $180^\circ - (90^\circ + 30^\circ) = 60^\circ$. Итак, оба треугольника имеют углы $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$.

Пусть по условию у них есть равная сторона длиной $12$ см.

Треугольник 1 ($\triangle ABC$):

Пусть $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $\angle C = 90^\circ$.
Пусть сторона, равная $12$ см, лежит напротив угла в $30^\circ$. То есть, катет $a = 12$ см.
Найдем остальные стороны по теореме синусов: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.

$\frac{12}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{c}{\sin 90^\circ}$

$\frac{12}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{c}{1}$

$24 = \frac{b}{\sqrt{3}/2} \implies b = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см.

$24 = c \implies c = 24$ см.

Стороны первого треугольника: $12$ см, $12\sqrt{3}$ см, $24$ см.

Треугольник 2 ($\triangle A'B'C'$):

Пусть $\angle A' = 30^\circ$, $\angle B' = 60^\circ$, $\angle C' = 90^\circ$.
Пусть сторона, равная $12$ см, лежит напротив угла в $60^\circ$. То есть, катет $b' = 12$ см.
Найдем остальные стороны по теореме синусов: $\frac{a'}{\sin A'} = \frac{b'}{\sin B'} = \frac{c'}{\sin C'}$.

$\frac{a'}{\sin 30^\circ} = \frac{12}{\sin 60^\circ} = \frac{c'}{\sin 90^\circ}$

$\frac{a'}{1/2} = \frac{12}{\sqrt{3}/2} = \frac{c'}{1}$

$\frac{12}{\sqrt{3}/2} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$.

$\frac{a'}{1/2} = 8\sqrt{3} \implies a' = 4\sqrt{3}$ см.

$c' = 8\sqrt{3}$ см.

Стороны второго треугольника: $4\sqrt{3}$ см, $12$ см, $8\sqrt{3}$ см.

Сравнение треугольников:

У обоих треугольников есть два равных угла (например, $30^\circ$ и $90^\circ$) и одна равная сторона ($12$ см).
Однако набор сторон первого треугольника $\{12, 12\sqrt{3}, 24\}$ не совпадает с набором сторон второго треугольника $\{4\sqrt{3}, 12, 8\sqrt{3}\}$. Следовательно, эти треугольники не равны.

Ответ: Да, могут.