Номер 416, страница 116 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 1 и 2. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 416, страница 116.

416 Пять прямых пересекаются в одной точке (рис. 182). Найдите сумму углов 1, 2, 3, 4 и 5.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством вертикальных углов и тем фактом, что сумма всех углов вокруг одной точки равна $360^\circ$.

На рисунке изображены пять прямых, пересекающихся в одной точке. Они образуют 10 углов. Пять из них обозначены цифрами 1, 2, 3, 4 и 5. Остальные пять углов являются вертикальными к данным.

Каждому из пяти закрашенных углов ($\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4, \angle 5$) соответствует равный ему вертикальный угол. По свойству вертикальных углов, они попарно равны.

Сумма всех десяти углов вокруг точки пересечения составляет полный угол, то есть $360^\circ$.

Пусть $S$ — искомая сумма углов: $S = \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5$.

Сумма вертикальных им углов также будет равна $S$.

Сумма всех углов вокруг точки равна сумме закрашенных углов и сумме вертикальных им углов:
$S + S = 360^\circ$

Упростим уравнение:
$2S = 360^\circ$

Теперь найдем $S$:
$S = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$

Таким образом, сумма углов 1, 2, 3, 4 и 5 равна $180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.