Номер 415, страница 116 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 1 и 2. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 415, страница 116.

415 Пусть угол hk — меньший из двух смежных углов hk и hl. Докажите, что

∠hk = 90° − 12(∠hl - ∠hk),

∠hl = 90° + 12(∠hl - ∠hk),

По условию задачи, углы $ \angle hk $ и $ \angle hl $ являются смежными. Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

$ \angle hk + \angle hl = 180^\circ $

Также дано, что $ \angle hk $ — меньший из двух углов, то есть $ \angle hk \le \angle hl $. Докажем оба равенства поочередно, выполнив алгебраические преобразования.

$ \angle hk = 90^\circ - \frac{1}{2}(\angle hl - \angle hk) $

Для доказательства этого равенства преобразуем его правую часть. Из свойства смежных углов ($ \angle hk + \angle hl = 180^\circ $) выразим $ \angle hl $:

$ \angle hl = 180^\circ - \angle hk $

Подставим это выражение в правую часть доказываемой формулы:

$ 90^\circ - \frac{1}{2}(\angle hl - \angle hk) = 90^\circ - \frac{1}{2}((180^\circ - \angle hk) - \angle hk) $

Упростим выражение в скобках:

$ 90^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - 2\angle hk) $

Теперь раскроем скобки, умножив $ -\frac{1}{2} $ на каждый член внутри них:

$ 90^\circ - \frac{1}{2} \cdot 180^\circ - (-\frac{1}{2} \cdot 2\angle hk) = 90^\circ - 90^\circ + \angle hk = \angle hk $

В результате преобразований правой части мы получили левую часть ($ \angle hk $). Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Равенство $ \angle hk = 90^\circ - \frac{1}{2}(\angle hl - \angle hk) $ доказано.

$ \angle hl = 90^\circ + \frac{1}{2}(\angle hl - \angle hk) $

Для доказательства второго равенства также преобразуем его правую часть. На этот раз из свойства смежных углов выразим $ \angle hk $:

$ \angle hk = 180^\circ - \angle hl $

Подставим это выражение в правую часть доказываемой формулы:

$ 90^\circ + \frac{1}{2}(\angle hl - \angle hk) = 90^\circ + \frac{1}{2}(\angle hl - (180^\circ - \angle hl)) $

Упростим выражение в скобках:

$ 90^\circ + \frac{1}{2}(\angle hl - 180^\circ + \angle hl) = 90^\circ + \frac{1}{2}(2\angle hl - 180^\circ) $

Раскроем скобки, умножив $ \frac{1}{2} $ на каждый член внутри них:

$ 90^\circ + \frac{1}{2} \cdot 2\angle hl - \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ + \angle hl - 90^\circ = \angle hl $

В результате преобразований правой части мы получили левую часть ($ \angle hl $). Таким образом, второе тождество также доказано.

Ответ: Равенство $ \angle hl = 90^\circ + \frac{1}{2}(\angle hl - \angle hk) $ доказано.