Номер 408, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Параграф 3. Симметричные фигуры. Дополнительные задачи - номер 408, страница 115.

Условие.

408 Точка пересечения двух равных хорд принадлежит некоторому диаметру. Докажите, что эти хорды симметричны относительно прямой, содержащей этот диаметр.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Пусть $AB$ и $CD$ — две равные хорды этой окружности, пересекающиеся в точке $P$. По условию, точка $P$ принадлежит некоторому диаметру, который мы обозначим как $MN$.

Дано:
1. Окружность с центром $O$.
2. Хорды $AB$ и $CD$, причем $AB = CD$.
3. $P = AB \cap CD$.
4. $MN$ — диаметр, $P \in MN$.

Доказать:
Хорды $AB$ и $CD$ симметричны относительно прямой $MN$.

Доказательство:

1. Проведем из центра окружности $O$ перпендикуляры $OH$ к хорде $AB$ и $OK$ к хорде $CD$. Таким образом, $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$.

2. В окружности равные хорды равноудалены от центра. Так как по условию $AB = CD$, то расстояния от центра $O$ до этих хорд равны, то есть $OH = OK$.

3. Рассмотрим треугольники $\triangle OHP$ и $\triangle OKP$.

• Они оба прямоугольные, так как $\angle OHP = 90^\circ$ и $\angle OKP = 90^\circ$ по построению.
• Сторона $OP$ является их общей гипотенузой.
• Катеты $OH$ и $OK$ равны, как было показано в пункте 2.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OHP$ и $\triangle OKP$ равны по гипотенузе и катету.

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle OPH = \angle OPK$.

5. Угол $\angle OPH$ — это угол между прямой, содержащей диаметр ($MN$), и хордой $AB$. Угол $\angle OPK$ — это угол между прямой, содержащей диаметр ($MN$), и хордой $CD$. Таким образом, мы доказали, что хорды $AB$ и $CD$ образуют равные углы с прямой $MN$.

6. Осевая симметрия относительно прямой $l$ — это отображение плоскости на себя, при котором любая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$.
Рассмотрим симметрию относительно прямой $MN$:

• Окружность отображается сама на себя, так как ее центр $O$ лежит на оси симметрии $MN$.
• Прямая, содержащая хорду $AB$, при симметрии относительно $MN$ перейдет в прямую, которая также проходит через точку $P$ (так как $P$ лежит на оси симметрии) и образует с прямой $MN$ такой же угол, что и прямая $AB$. Так как $\angle OPH = \angle OPK$, то образом прямой $AB$ будет прямая $CD$.
• Поскольку концы хорды $AB$ лежат на окружности, то их образы при симметрии также будут лежать на окружности (которая отображается на себя). Это означает, что образом хорды $AB$ является отрезок, концы которого лежат на окружности и который принадлежит прямой $CD$. Таким отрезком является хорда $CD$.

Таким образом, хорда $AB$ при симметрии относительно прямой $MN$ отображается на хорду $CD$. Это по определению означает, что хорды $AB$ и $CD$ симметричны относительно прямой, содержащей диаметр $MN$.

Ответ: Утверждение доказано. Хорды симметричны относительно прямой, содержащей диаметр, на котором лежит точка их пересечения.