Номер 408, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 408, страница 115.

408 Точка пересечения двух равных хорд принадлежит некоторому диаметру. Докажите, что эти хорды симметричны относительно прямой, содержащей этот диаметр.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Пусть $AB$ и $CD$ — две равные хорды этой окружности, пересекающиеся в точке $P$. По условию, точка $P$ принадлежит некоторому диаметру, который мы обозначим как $MN$.

Дано:
1. Окружность с центром $O$.
2. Хорды $AB$ и $CD$, причем $AB = CD$.
3. $P = AB \cap CD$.
4. $MN$ — диаметр, $P \in MN$.

Доказать:
Хорды $AB$ и $CD$ симметричны относительно прямой $MN$.

Доказательство:

1. Проведем из центра окружности $O$ перпендикуляры $OH$ к хорде $AB$ и $OK$ к хорде $CD$. Таким образом, $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$.

2. В окружности равные хорды равноудалены от центра. Так как по условию $AB = CD$, то расстояния от центра $O$ до этих хорд равны, то есть $OH = OK$.

3. Рассмотрим треугольники $\triangle OHP$ и $\triangle OKP$.

• Они оба прямоугольные, так как $\angle OHP = 90^\circ$ и $\angle OKP = 90^\circ$ по построению.
• Сторона $OP$ является их общей гипотенузой.
• Катеты $OH$ и $OK$ равны, как было показано в пункте 2.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OHP$ и $\triangle OKP$ равны по гипотенузе и катету.

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle OPH = \angle OPK$.

5. Угол $\angle OPH$ — это угол между прямой, содержащей диаметр ($MN$), и хордой $AB$. Угол $\angle OPK$ — это угол между прямой, содержащей диаметр ($MN$), и хордой $CD$. Таким образом, мы доказали, что хорды $AB$ и $CD$ образуют равные углы с прямой $MN$.

6. Осевая симметрия относительно прямой $l$ — это отображение плоскости на себя, при котором любая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$.
Рассмотрим симметрию относительно прямой $MN$:

• Окружность отображается сама на себя, так как ее центр $O$ лежит на оси симметрии $MN$.
• Прямая, содержащая хорду $AB$, при симметрии относительно $MN$ перейдет в прямую, которая также проходит через точку $P$ (так как $P$ лежит на оси симметрии) и образует с прямой $MN$ такой же угол, что и прямая $AB$. Так как $\angle OPH = \angle OPK$, то образом прямой $AB$ будет прямая $CD$.
• Поскольку концы хорды $AB$ лежат на окружности, то их образы при симметрии также будут лежать на окружности (которая отображается на себя). Это означает, что образом хорды $AB$ является отрезок, концы которого лежат на окружности и который принадлежит прямой $CD$. Таким отрезком является хорда $CD$.

Таким образом, хорда $AB$ при симметрии относительно прямой $MN$ отображается на хорду $CD$. Это по определению означает, что хорды $AB$ и $CD$ симметричны относительно прямой, содержащей диаметр $MN$.

Ответ: Утверждение доказано. Хорды симметричны относительно прямой, содержащей диаметр, на котором лежит точка их пересечения.