Номер 403, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Параграф 3. Симметричные фигуры. Дополнительные задачи - номер 403, страница 115.

Условие.

403 Докажите, что прямые, симметричные двум данным параллельным прямым относительно прямой a, параллельны.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами осевой симметрии и признаками параллельности прямых.

Пусть даны две параллельные прямые $b$ и $c$ (то есть $b \parallel c$) и прямая $a$, которая является осью симметрии. Прямая $b'$ — это образ прямой $b$ при симметрии относительно прямой $a$. Прямая $c'$ — это образ прямой $c$ при той же симметрии. Нам нужно доказать, что $b' \parallel c'$.

Доказательство можно провести, рассмотрев два основных случая взаимного расположения прямых.

1. Первый случай: ось симметрии $a$ параллельна данным прямым $b$ и $c$.

По свойству осевой симметрии, прямая, параллельная оси, отображается на прямую, также параллельную оси. Поскольку $b \parallel a$, ее образ $b'$ также будет параллелен $a$ ($b' \parallel a$). Аналогично, поскольку $c \parallel a$, ее образ $c'$ также будет параллелен $a$ ($c' \parallel a$). Из $b' \parallel a$ и $c' \parallel a$ по свойству транзитивности параллельности прямых следует, что $b' \parallel c'$.

2. Второй случай: ось симметрии $a$ пересекает данные прямые $b$ и $c$.

Так как $b \parallel c$, то прямая $a$ является секущей для этих прямых. Осевая симметрия является движением, а значит, сохраняет углы между прямыми. Пусть $\alpha$ — один из углов, образованных при пересечении прямой $b$ и секущей $a$. Так как $b \parallel c$, то соответственный ему угол, образованный при пересечении прямой $c$ и секущей $a$, также равен $\alpha$. При симметрии относительно прямой $a$, прямая $b$ переходит в прямую $b'$, а прямая $c$ — в прямую $c'$. Поскольку симметрия сохраняет углы, угол между образом $b'$ и осью $a$ будет равен углу между $b$ и $a$. Следовательно, один из соответственных углов между $b'$ и $a$ будет равен $\alpha$. Аналогично, угол между образом $c'$ и осью $a$ будет равен углу между $c$ и $a$, то есть также $\alpha$. Теперь рассмотрим прямые $b'$ и $c'$ и секущую $a$. Соответственные углы, которые они образуют с секущей $a$, равны $\alpha$. По признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны. Следовательно, $b' \parallel c'$.

Так как мы рассмотрели все возможные случаи, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые, симметричные двум данным параллельным прямым относительно прямой, параллельны.