Номер 403, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 403, страница 115.

403 Докажите, что прямые, симметричные двум данным параллельным прямым относительно прямой a, параллельны.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами осевой симметрии и признаками параллельности прямых.

Пусть даны две параллельные прямые $b$ и $c$ (то есть $b \parallel c$) и прямая $a$, которая является осью симметрии. Прямая $b'$ — это образ прямой $b$ при симметрии относительно прямой $a$. Прямая $c'$ — это образ прямой $c$ при той же симметрии. Нам нужно доказать, что $b' \parallel c'$.

Доказательство можно провести, рассмотрев два основных случая взаимного расположения прямых.

1. Первый случай: ось симметрии $a$ параллельна данным прямым $b$ и $c$.

По свойству осевой симметрии, прямая, параллельная оси, отображается на прямую, также параллельную оси. Поскольку $b \parallel a$, ее образ $b'$ также будет параллелен $a$ ($b' \parallel a$). Аналогично, поскольку $c \parallel a$, ее образ $c'$ также будет параллелен $a$ ($c' \parallel a$). Из $b' \parallel a$ и $c' \parallel a$ по свойству транзитивности параллельности прямых следует, что $b' \parallel c'$.

2. Второй случай: ось симметрии $a$ пересекает данные прямые $b$ и $c$.

Так как $b \parallel c$, то прямая $a$ является секущей для этих прямых. Осевая симметрия является движением, а значит, сохраняет углы между прямыми. Пусть $\alpha$ — один из углов, образованных при пересечении прямой $b$ и секущей $a$. Так как $b \parallel c$, то соответственный ему угол, образованный при пересечении прямой $c$ и секущей $a$, также равен $\alpha$. При симметрии относительно прямой $a$, прямая $b$ переходит в прямую $b'$, а прямая $c$ — в прямую $c'$. Поскольку симметрия сохраняет углы, угол между образом $b'$ и осью $a$ будет равен углу между $b$ и $a$. Следовательно, один из соответственных углов между $b'$ и $a$ будет равен $\alpha$. Аналогично, угол между образом $c'$ и осью $a$ будет равен углу между $c$ и $a$, то есть также $\alpha$. Теперь рассмотрим прямые $b'$ и $c'$ и секущую $a$. Соответственные углы, которые они образуют с секущей $a$, равны $\alpha$. По признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны. Следовательно, $b' \parallel c'$.

Так как мы рассмотрели все возможные случаи, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые, симметричные двум данным параллельным прямым относительно прямой, параллельны.