Номер 399, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Параграф 3. Симметричные фигуры. Дополнительные задачи - номер 399, страница 114.

Условие.

399 Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дан треугольник $ABC$, $O$ — центр его описанной окружности, а $AM$ — медиана, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$. По условию задачи, точка $O$ лежит на медиане $AM$.

Центр описанной окружности $O$ равноудален от вершин треугольника, следовательно $OB = OC$. Это означает, что треугольник $OBC$ является равнобедренным с основанием $BC$. Точка $M$, будучи серединой стороны $BC$, является основанием медианы $OM$ в треугольнике $OBC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $OM \perp BC$.

Таким образом, центр описанной окружности $O$ всегда лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. По условию, точка $O$ также лежит на медиане $AM$, поэтому точки $A$, $O$ и $M$ лежат на одной прямой. Рассмотрим два возможных случая, вытекающих из этого факта.

Случай 1: Точка O не совпадает с точкой M.
В этом случае прямая $AM$ (на которой лежат все три точки $A, O, M$) совпадает с прямой $OM$. Поскольку мы установили, что $OM \perp BC$, то и прямая $AM$ должна быть перпендикулярна $BC$. Это означает, что медиана $AM$ в треугольнике $ABC$ одновременно является его высотой.
Если медиана к стороне является также высотой, то треугольник является равнобедренным. В данном случае, это доказывается равенством треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$ по двум сторонам и углу между ними ($BM=CM$, $AM$ — общая, $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$), из чего следует, что $AB = AC$.
Следовательно, в этом случае треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Случай 2: Точка O совпадает с точкой M.
Если центр описанной окружности $O$ совпадает с серединой $M$ стороны $BC$, то из свойства центра $O$ ($OA = OB = OC$) следует, что $MA = MB = MC$.
Равенство $MA = MB = MC$ означает, что длина медианы $AM$ равна половине длины стороны $BC$ (так как $BC = MB + MC = 2MB = 2MA$). По теореме, обратной теореме о медиане прямоугольного треугольника, если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то угол треугольника, противолежащий этой стороне, является прямым.
Следовательно, $\angle BAC = 90^\circ$, и треугольник $ABC$ — прямоугольный.

Таким образом, в обоих возможных случаях треугольник оказывается либо равнобедренным, либо прямоугольным.

Ответ: Утверждение доказано. Если центр описанной окружности лежит на медиане, то возможны два сценария. Если центр окружности не совпадает с серединой стороны, к которой проведена медиана, то эта медиана является также и высотой, и треугольник равнобедренный. Если же центр окружности совпадает с серединой этой стороны, то треугольник является прямоугольным.