Номер 399, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 399, страница 114.

399 Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.

Пусть дан треугольник $ABC$, $O$ — центр его описанной окружности, а $AM$ — медиана, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$. По условию задачи, точка $O$ лежит на медиане $AM$.

Центр описанной окружности $O$ равноудален от вершин треугольника, следовательно $OB = OC$. Это означает, что треугольник $OBC$ является равнобедренным с основанием $BC$. Точка $M$, будучи серединой стороны $BC$, является основанием медианы $OM$ в треугольнике $OBC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $OM \perp BC$.

Таким образом, центр описанной окружности $O$ всегда лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. По условию, точка $O$ также лежит на медиане $AM$, поэтому точки $A$, $O$ и $M$ лежат на одной прямой. Рассмотрим два возможных случая, вытекающих из этого факта.

Случай 1: Точка O не совпадает с точкой M.
В этом случае прямая $AM$ (на которой лежат все три точки $A, O, M$) совпадает с прямой $OM$. Поскольку мы установили, что $OM \perp BC$, то и прямая $AM$ должна быть перпендикулярна $BC$. Это означает, что медиана $AM$ в треугольнике $ABC$ одновременно является его высотой.
Если медиана к стороне является также высотой, то треугольник является равнобедренным. В данном случае, это доказывается равенством треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$ по двум сторонам и углу между ними ($BM=CM$, $AM$ — общая, $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$), из чего следует, что $AB = AC$.
Следовательно, в этом случае треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Случай 2: Точка O совпадает с точкой M.
Если центр описанной окружности $O$ совпадает с серединой $M$ стороны $BC$, то из свойства центра $O$ ($OA = OB = OC$) следует, что $MA = MB = MC$.
Равенство $MA = MB = MC$ означает, что длина медианы $AM$ равна половине длины стороны $BC$ (так как $BC = MB + MC = 2MB = 2MA$). По теореме, обратной теореме о медиане прямоугольного треугольника, если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то угол треугольника, противолежащий этой стороне, является прямым.
Следовательно, $\angle BAC = 90^\circ$, и треугольник $ABC$ — прямоугольный.

Таким образом, в обоих возможных случаях треугольник оказывается либо равнобедренным, либо прямоугольным.

Ответ: Утверждение доказано. Если центр описанной окружности лежит на медиане, то возможны два сценария. Если центр окружности не совпадает с серединой стороны, к которой проведена медиана, то эта медиана является также и высотой, и треугольник равнобедренный. Если же центр окружности совпадает с серединой этой стороны, то треугольник является прямоугольным.