Страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

27 Как построить ось симметрии двух данных точек?

Осью симметрии двух данных точек $A$ и $B$ является прямая, которая перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит через его середину. Такая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку. Для построения оси симметрии с помощью циркуля и линейки (без делений) необходимо выполнить следующий алгоритм:

1. Соединить данные точки $A$ и $B$ отрезком при помощи линейки.
2. Установить ножку циркуля в точку $A$. Раствор циркуля (радиус) выбрать так, чтобы он был больше половины длины отрезка $AB$. Провести дугу окружности.
3. Не меняя раствора циркуля, установить его ножку в точку $B$ и провести вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух местах.
4. Обозначить точки пересечения дуг как $C$ и $D$.
5. С помощью линейки провести прямую через точки $C$ и $D$.

Полученная прямая $CD$ является искомой осью симметрии для точек $A$ и $B$.

Обоснование

Каждая точка на построенной прямой $CD$ равноудалена от точек $A$ и $B$. Рассмотрим точку $C$. По построению, она принадлежит двум окружностям: одной с центром в $A$ и радиусом $R$, и другой с центром в $B$ и тем же радиусом $R$. Следовательно, расстояние от $C$ до $A$ равно $R$, и расстояние от $C$ до $B$ также равно $R$. Таким образом, $AC = BC$. Аналогично для точки $D$: $AD = BD$.

Любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Поскольку точки $C$ и $D$ обе равноудалены от $A$ и $B$, прямая, проходящая через $C$ и $D$, и есть серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Серединный перпендикуляр по определению является осью симметрии для концов отрезка — точек $A$ и $B$.

Ответ: Чтобы построить ось симметрии двух данных точек, нужно построить серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Для этого необходимо: 1) из каждой точки как из центра провести дуги окружности одинакового радиуса (большего, чем половина расстояния между точками) так, чтобы они пересеклись; 2) провести прямую через две точки пересечения этих дуг. Эта прямая и будет осью симметрии.

28 Если две прямые симметричны относительно некоторой прямой, может ли только одна из них пересекать ось симметрии? Ответ объясните.

Нет, не может.

Рассмотрим, почему это невозможно. Обозначим ось симметрии как прямую $s$, а две симметричные относительно нее прямые — как $a$ и $b$.

Предположим, что только одна из прямых, например прямая $a$, пересекает ось симметрии $s$. Пусть точка их пересечения будет $M$.

Из этого предположения следует два факта:
1. Точка $M$ принадлежит прямой $a$ ($M \in a$).
2. Точка $M$ принадлежит оси симметрии $s$ ($M \in s$).

По определению осевой симметрии, любая точка, лежащая на оси симметрии, при симметричном отображении переходит сама в себя (является неподвижной). Поскольку точка $M$ лежит на оси $s$, она симметрична самой себе относительно этой оси.

По условию задачи прямые $a$ и $b$ симметричны относительно прямой $s$. Это означает, что для каждой точки на прямой $a$ соответствующая ей симметричная точка лежит на прямой $b$. Точка $M$ принадлежит прямой $a$, следовательно, симметричная ей точка должна принадлежать прямой $b$.

Как мы установили, точка, симметричная точке $M$, — это сама точка $M$. Значит, точка $M$ должна принадлежать и прямой $b$ ($M \in b$).

Таким образом, мы пришли к выводу, что если прямая $a$ пересекает ось симметрии $s$ в точке $M$, то и прямая $b$ обязана пересекать ось симметрии $s$ в той же самой точке $M$. Это противоречит нашему изначальному предположению о том, что только одна прямая пересекает ось.

Следовательно, для двух различных прямых, симметричных относительно третьей, возможны только два варианта:

• Обе прямые пересекаются на оси симметрии.
• Обе прямые параллельны оси симметрии и не пересекают ее.

Ответ: Нет, не может. Если одна из симметричных прямых пересекает ось симметрии, то точка пересечения лежит на оси симметрии и, следовательно, симметрична самой себе. Так как эта точка принадлежит первой прямой, ее симметричный образ (она сама) должен принадлежать и второй прямой. Значит, вторая прямая также проходит через эту точку, то есть тоже пересекает ось симметрии в этой же точке.

29 Будут ли равны расстояния между двумя точками А и В и симметричными им точками А₁ и В₁?

Да, расстояния будут равны. Любое симметричное преобразование (симметрия) является движением или, по-другому, изометрией. Основным свойством любого движения является сохранение расстояний между точками. Таким образом, расстояние между точками $A$ и $B$ будет в точности равно расстоянию между симметричными им точками $A_1$ и $B_1$.

Для большей наглядности рассмотрим два основных вида симметрии на плоскости: центральную и осевую.

Центральная симметрия (симметрия относительно точки)

Пусть точки $A_1$ и $B_1$ симметричны точкам $A$ и $B$ соответственно относительно некоторого центра $O$. По определению центральной симметрии, точка $O$ является серединой отрезков $AA_1$ и $BB_1$. Это означает, что $AO = OA_1$ и $BO = OB_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A_1OB_1$. В них $AO = A_1O$ и $BO = B_1O$ (по определению симметрии), а угол $\angle AOB = \angle A_1OB_1$ (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A_1OB_1$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = A_1B_1$.

Осевая симметрия (симметрия относительно прямой)

Пусть точки $A_1$ и $B_1$ симметричны точкам $A$ и $B$ соответственно относительно некоторой прямой $l$ (оси симметрии). Докажем равенство расстояний $AB$ и $A_1B_1$ с помощью метода координат. Выберем систему координат так, чтобы ось симметрии $l$ совпадала с осью ординат $Oy$.

Пусть точка $A$ имеет координаты $(x_A, y_A)$, а точка $B$ — координаты $(x_B, y_B)$. При симметрии относительно оси $Oy$ абсцисса точки меняет знак, а ордината остается прежней. Тогда симметричная точка $A_1$ будет иметь координаты $(-x_A, y_A)$, а точка $B_1$ — координаты $(-x_B, y_B)$.

Найдем квадрат расстояния между точками $A$ и $B$ по формуле $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:

$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$

Теперь найдем квадрат расстояния между симметричными точками $A_1$ и $B_1$:

$A_1B_1^2 = (-x_B - (-x_A))^2 + (y_B - y_A)^2 = (-x_B + x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$

Так как $(-x_B + x_A)^2 = (-(x_B - x_A))^2 = (x_B - x_A)^2$, то получаем:

$A_1B_1^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$

Сравнивая выражения для $AB^2$ и $A_1B_1^2$, мы видим, что они равны. Следовательно, равны и сами расстояния: $AB = A_1B_1$.

Вывод: оба основных вида симметрии, как и любое другое движение (изометрия), сохраняют расстояние между точками.

Ответ: Да, расстояния между точками $A$ и $B$ и симметричными им точками $A_1$ и $B_1$ будут равны.

30 Как построить точку, симметричную точке М относительно прямой b: а) с помощью циркуля и линейки; б) с помощью одного циркуля?

Чтобы построить точку $M'$, симметричную точке $M$ относительно прямой $b$, нужно выполнить следующие построения.

а) с помощью циркуля и линейки;

Классическое построение с использованием обоих инструментов заключается в построении перпендикуляра из точки на прямую и последующем откладывании равного расстояния.

1. Построим прямую, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную прямой $b$. Для этого:

1.1. Проведем окружность с центром в точке $M$ такого радиуса, чтобы она пересекла прямую $b$ в двух различных точках. Назовем эти точки $A$ и $B$.

1.2. Теперь построим серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Проведем две окружности одинакового радиуса (большего, чем половина длины отрезка $AB$) с центрами в точках $A$ и $B$.

1.3. Эти две окружности пересекутся в двух точках. С помощью линейки проведем через них прямую. Эта прямая по построению является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Так как треугольник $\triangle AMB$ является равнобедренным ($AM=BM$ как радиусы первой окружности), то его высота, опущенная на основание $AB$, является и медианой, и биссектрисой. Следовательно, построенный серединный перпендикуляр к $AB$ пройдет через вершину $M$. Обозначим эту прямую $l$. По построению $l \perp b$.

2. Найдем точку $M'$.

2.1. Отметим точку пересечения прямых $l$ и $b$ и назовем ее $H$. Эта точка является основанием перпендикуляра, опущенного из $M$ на $b$.

2.2. Циркулем измерим расстояние от точки $M$ до точки $H$ (длину отрезка $MH$).

2.3. Отложим это же расстояние на прямой $l$ от точки $H$, но в противоположную сторону от точки $M$. Полученная точка и будет искомой точкой $M'$.

Таким образом, точка $M'$ лежит на перпендикуляре к прямой $b$, проходящем через $M$, и на том же расстоянии от $b$, что и $M$, но с другой стороны. Следовательно, $M'$ симметрична $M$ относительно $b$.

Ответ: Искомая точка $M'$ строится путем проведения перпендикуляра из точки $M$ к прямой $b$ и откладывания на нем от точки их пересечения $H$ отрезка $HM'$, равного отрезку $MH$.

б) с помощью одного циркуля?

Построение точки, симметричной данной относительно прямой, возможно и с использованием только одного циркуля. Это одна из классических задач геометрии построений (задачи Маскерони). Построение выполняется в несколько шагов:

1. Установим ножку циркуля в точку $M$ и проведем окружность произвольного, но достаточного радиуса, чтобы она пересекла прямую $b$ в двух точках. Назовем эти точки пересечения $A$ и $B$.

2. Не меняя раствора циркуля (или установив его равным расстоянию $AM$), проведем вторую окружность с центром в точке $A$. Эта окружность, очевидно, пройдет через точку $M$.

3. Аналогично, проведем третью окружность с тем же радиусом (равным $BM$, что то же самое, что и $AM$) с центром в точке $B$. Эта окружность также пройдет через точку $M$.

4. Две последние окружности (с центрами в $A$ и $B$) пересекутся в двух точках. Одна из них — это исходная точка $M$. Вторая точка пересечения, лежащая по другую сторону от прямой $b$, и есть искомая симметричная точка $M'$.

Обоснование: по построению мы имеем $AM = BM$ (как радиусы первой окружности), $AM = AM'$ (как радиусы второй окружности) и $BM = BM'$ (как радиусы третьей окружности). Отсюда следует, что $AM = BM = AM' = BM'$. Четырехугольник $AMBM'$ является ромбом. В ромбе диагонали ($AB$ и $MM'$) взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Так как точки $A$ и $B$ лежат на прямой $b$, то прямая $b$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$, что и означает, что точки $M$ и $M'$ симметричны относительно прямой $b$. Как видно, линейка для этого построения не использовалась.

Ответ: Искомая точка $M'$ находится как вторая точка пересечения двух окружностей с одинаковым радиусом, центры которых ($A$ и $B$) являются точками пересечения исходной прямой $b$ с произвольной окружностью, проведенной из центра $M$.

394 Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.

Для доказательства используем метод от противного.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Проведена хорда $AB$, которая не является диаметром. Это означает, что точки $A$, $O$ и $B$ не лежат на одной прямой.

Пусть $m_1$ — касательная к окружности в точке $A$, а $m_2$ — касательная в точке $B$.

Предположим, что касательные $m_1$ и $m_2$ не пересекаются. На плоскости это означает, что они параллельны: $m_1 \parallel m_2$.

Согласно свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус $OA$ перпендикулярен касательной $m_1$ ($OA \perp m_1$), а радиус $OB$ перпендикулярен касательной $m_2$ ($OB \perp m_2$).

Из того, что $m_1 \parallel m_2$ и $OA \perp m_1$, следует, что прямая $OA$ также перпендикулярна прямой $m_2$ (по свойству параллельных прямых: если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй). Таким образом, $OA \perp m_2$.

Теперь мы имеем, что из одной точки $O$ к одной прямой $m_2$ проведены два перпендикуляра: $OA$ и $OB$. Однако, согласно теореме о перпендикуляре к прямой, из любой точки, не лежащей на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой. Это означает, что прямые $OA$ и $OB$ должны совпадать.

Если прямые $OA$ и $OB$ совпадают, то точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой. В этом случае хорда $AB$ проходит через центр окружности и является её диаметром.

Это заключение противоречит первоначальному условию задачи, согласно которому хорда $AB$ не является диаметром. Следовательно, наше предположение о том, что касательные $m_1$ и $m_2$ не пересекаются (параллельны), неверно.

Значит, касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром, должны пересекаться.

Ответ: Утверждение доказано.

395 Прямые AB и АС — касательные к окружности с центром О, В и С — точки касания. Через произвольную точку X, взятую на дуге ВС, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки AB и АС в точках М и N. Докажите, что периметр треугольника AMN и величина угла MON не зависят от выбора точки X на дуге ВС.

Доказательство независимости периметра треугольника AMN от выбора точки X

Периметр треугольника $AMN$ равен сумме длин его сторон: $P_{AMN} = AM + AN + MN$. Касательная, проведенная через точку $X$, образует отрезок $MN$. Этот отрезок можно представить как сумму отрезков $MN = MX + XN$. Тогда периметр $P_{AMN} = AM + AN + MX + XN$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны.

Для точки $M$, из которой проведены касательные к окружности в точках $B$ и $X$, справедливо равенство: $MB = MX$.

Аналогично для точки $N$, из которой проведены касательные в точках $C$ и $X$, справедливо равенство: $NC = NX$.

Подставим эти равенства в выражение для периметра треугольника $AMN$: $P_{AMN} = AM + AN + MB + NC$.

Перегруппируем слагаемые: $P_{AMN} = (AM + MB) + (AN + NC)$.

Поскольку точки $M$ и $N$ лежат на отрезках $AB$ и $AC$ соответственно, то $AM + MB = AB$ и $AN + NC = AC$. В результате получаем: $P_{AMN} = AB + AC$.

Так как исходные касательные $AB$ и $AC$ и точки касания $B$ и $C$ фиксированы, то длины отрезков $AB$ и $AC$ являются постоянными величинами. Также, по свойству касательных, проведенных из одной точки $A$, $AB = AC$. Следовательно, периметр треугольника $AMN$ не зависит от выбора точки $X$ на дуге $BC$.

Ответ: Периметр треугольника $AMN$ постоянен и равен $AB + AC$.

Доказательство независимости величины угла MON от выбора точки X

Соединим центр окружности $O$ с точками $M, N$ и $X$.

Рассмотрим треугольники $\triangle OMB$ и $\triangle OMX$. В этих треугольниках сторона $OM$ — общая, стороны $OB$ и $OX$ равны как радиусы одной окружности, а стороны $MB$ и $MX$ равны как отрезки касательных к окружности, проведенных из точки $M$. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle OMB \cong \triangle OMX$. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle BOM = \angle MOX$.

Аналогично рассмотрим треугольники $\triangle ONC$ и $\triangle ONX$. В них сторона $ON$ — общая, $OC=OX$ как радиусы, и $NC=NX$ как отрезки касательных из точки $N$. Таким образом, $\triangle ONC \cong \triangle ONX$ по трем сторонам. Следовательно, их соответствующие углы равны: $\angle CON = \angle NOX$.

Угол $\angle MON$ состоит из двух углов: $\angle MON = \angle MOX + \angle NOX$. Из доказанных выше равенств углов следует, что $OM$ является биссектрисой угла $\angle BOX$, а $ON$ — биссектрисой угла $\angle COX$. Это означает, что $\angle MOX = \frac{1}{2} \angle BOX$ и $\angle NOX = \frac{1}{2} \angle COX$.

Подставим эти выражения в формулу для угла $\angle MON$: $\angle MON = \frac{1}{2} \angle BOX + \frac{1}{2} \angle COX = \frac{1}{2} (\angle BOX + \angle COX)$.

Так как точка $X$ лежит на дуге $BC$, то угол $\angle BOC$ равен сумме углов $\angle BOX$ и $\angle COX$. Следовательно, мы получаем: $\angle MON = \frac{1}{2} \angle BOC$.

Поскольку точки $B, O, C$ фиксированы, то угол $\angle BOC$ является постоянной величиной. Значит, и половина этого угла, $\angle MON$, также является постоянной величиной и не зависит от выбора точки $X$ на дуге $BC$.

Ответ: Величина угла $\angle MON$ постоянна и равна половине величины угла $\angle BOC$.

396* Две окружности имеют общую точку М и общую касательную в этой точке. Прямая AB касается одной окружности в точке А, а другой — в точке В. Докажите, что точка М лежит на окружности с диаметром AB.

Доказательство:

Для того чтобы доказать, что точка $M$ лежит на окружности с диаметром $AB$, необходимо и достаточно доказать, что угол $\angle AMB$ равен $90^\circ$. Это следует из свойства, согласно которому вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Пусть общая касательная к двум окружностям в точке $M$ и прямая $AB$ пересекаются в точке $K$. Эти касательные не могут быть параллельны (за исключением случая, когда окружности равны и касаются друг друга с двух сторон от прямой, соединяющей их центры), поэтому они обязательно пересекаются в некоторой точке $K$.

Рассмотрим первую окружность, которую прямая $AB$ касается в точке $A$. Отрезки $KA$ и $KM$ являются отрезками касательных, проведенных из одной и той же точки $K$ к этой окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки, их длины равны: $KA = KM$. Следовательно, треугольник $\triangle AKM$ является равнобедренным, и углы при его основании равны: $\angle KAM = \angle KMA$.

Аналогично, рассмотрим вторую окружность, которую прямая $AB$ касается в точке $B$. Отрезки $KB$ и $KM$ являются отрезками касательных, проведенных из точки $K$ к этой окружности. Следовательно, их длины также равны: $KB = KM$. Треугольник $\triangle BKM$ также является равнобедренным, и углы при его основании равны: $\angle KBM = \angle KMB$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$: $\angle MAB + \angle MBA + \angle AMB = 180^\circ$.

Угол $\angle AMB$ состоит из двух углов: $\angle AMB = \angle KMA + \angle KMB$. Углы $\angle MAB$ и $\angle MBA$ — это те же углы, что и $\angle KAM$ и $\angle KBM$ соответственно. Подставим эти выражения в уравнение суммы углов треугольника $\triangle AMB$: $\angle KAM + \angle KBM + (\angle KMA + \angle KMB) = 180^\circ$.

Используя ранее установленные равенства углов при основании в равнобедренных треугольниках ($\angle KAM = \angle KMA$ и $\angle KBM = \angle KMB$), мы можем заменить углы $\angle KAM$ и $\angle KBM$ в уравнении: $\angle KMA + \angle KMB + (\angle KMA + \angle KMB) = 180^\circ$.

Это уравнение можно упростить: $2(\angle KMA + \angle KMB) = 180^\circ$. Отсюда следует: $\angle KMA + \angle KMB = 90^\circ$.

Так как $\angle AMB = \angle KMA + \angle KMB$, мы доказали, что $\angle AMB = 90^\circ$.

Ответ: Поскольку угол $\angle AMB$ является прямым ($90^\circ$), точка $M$ лежит на окружности, для которой отрезок $AB$ является диаметром. Что и требовалось доказать.

397 Отрезок AB является диаметром окружности, а хорды ВС и AD параллельны. Докажите, что хорда CD является диаметром.

Дано:
Окружность с центром в точке $O$.
Отрезок $AB$ является диаметром окружности.
Хорды $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

Доказать:
Хорда $CD$ является диаметром.

Доказательство:
В окружности дуги, заключенные между двумя параллельными хордами, равны. Так как по условию хорды $BC$ и $AD$ параллельны, то градусные меры дуг $AC$ и $BD$, расположенных между ними, равны.
$m(\stackrel{\frown}{AC}) = m(\stackrel{\frown}{BD})$

Поскольку $AB$ является диаметром, он делит окружность на две полуокружности, градусная мера каждой из которых равна $180^\circ$. Рассмотрим дугу $ADB$, которая является одной из этих полуокружностей. Её градусная мера складывается из градусных мер дуг $AD$ и $DB$:
$m(\stackrel{\frown}{ADB}) = m(\stackrel{\frown}{AD}) + m(\stackrel{\frown}{DB}) = 180^\circ$

Теперь рассмотрим градусную меру дуги $CAD$. Она равна сумме градусных мер дуг $CA$ и $AD$:
$m(\stackrel{\frown}{CAD}) = m(\stackrel{\frown}{CA}) + m(\stackrel{\frown}{AD})$

Заменим в этом выражении $m(\stackrel{\frown}{CA})$ на равную ей величину $m(\stackrel{\frown}{BD})$:
$m(\stackrel{\frown}{CAD}) = m(\stackrel{\frown}{BD}) + m(\stackrel{\frown}{AD})$

Правая часть этого равенства есть не что иное, как градусная мера дуги $BDA$. Таким образом, мы получаем:
$m(\stackrel{\frown}{CAD}) = m(\stackrel{\frown}{BDA}) = 180^\circ$

Хорда, которая стягивает дугу в $180^\circ$, является диаметром окружности. Следовательно, хорда $CD$ является диаметром.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что хорда $CD$ является диаметром, доказано.

398 Может ли вершина разностороннего треугольника лежать на серединном перпендикуляре к какой-либо стороне? Ответ обоснуйте.

Нет, не может.

Обоснование:

Серединный перпендикуляр к отрезку обладает свойством: каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов этого отрезка.

Пусть дан разносторонний треугольник $ABC$. Это означает, что $AB \neq BC \neq AC$.

Рассмотрим серединный перпендикуляр к стороне $AB$. Предположим, что третья вершина $C$ этого треугольника лежит на этом серединном перпендикуляре.

Согласно свойству серединного перпендикуляра, если точка $C$ лежит на нем, то она должна быть равноудалена от точек $A$ и $B$. Это означает, что длина отрезка $AC$ должна быть равна длине отрезка $BC$, то есть $AC = BC$.

Если в треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны, то он является равнобедренным. Это противоречит условию задачи, что треугольник разносторонний.

Аналогичные рассуждения можно провести для любой другой вершины и противолежащей ей стороны. Если вершина $A$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$, то $AB = AC$. Если вершина $B$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$, то $BA = BC$. Во всех случаях мы получаем равнобедренный треугольник, что противоречит условию.

Следовательно, вершина разностороннего треугольника не может лежать на серединном перпендикуляре ни к одной из его сторон.

Ответ: Нет, не может.

399 Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.

Пусть дан треугольник $ABC$, $O$ — центр его описанной окружности, а $AM$ — медиана, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$. По условию задачи, точка $O$ лежит на медиане $AM$.

Центр описанной окружности $O$ равноудален от вершин треугольника, следовательно $OB = OC$. Это означает, что треугольник $OBC$ является равнобедренным с основанием $BC$. Точка $M$, будучи серединой стороны $BC$, является основанием медианы $OM$ в треугольнике $OBC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $OM \perp BC$.

Таким образом, центр описанной окружности $O$ всегда лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. По условию, точка $O$ также лежит на медиане $AM$, поэтому точки $A$, $O$ и $M$ лежат на одной прямой. Рассмотрим два возможных случая, вытекающих из этого факта.

Случай 1: Точка O не совпадает с точкой M.
В этом случае прямая $AM$ (на которой лежат все три точки $A, O, M$) совпадает с прямой $OM$. Поскольку мы установили, что $OM \perp BC$, то и прямая $AM$ должна быть перпендикулярна $BC$. Это означает, что медиана $AM$ в треугольнике $ABC$ одновременно является его высотой.
Если медиана к стороне является также высотой, то треугольник является равнобедренным. В данном случае, это доказывается равенством треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$ по двум сторонам и углу между ними ($BM=CM$, $AM$ — общая, $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$), из чего следует, что $AB = AC$.
Следовательно, в этом случае треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Случай 2: Точка O совпадает с точкой M.
Если центр описанной окружности $O$ совпадает с серединой $M$ стороны $BC$, то из свойства центра $O$ ($OA = OB = OC$) следует, что $MA = MB = MC$.
Равенство $MA = MB = MC$ означает, что длина медианы $AM$ равна половине длины стороны $BC$ (так как $BC = MB + MC = 2MB = 2MA$). По теореме, обратной теореме о медиане прямоугольного треугольника, если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то угол треугольника, противолежащий этой стороне, является прямым.
Следовательно, $\angle BAC = 90^\circ$, и треугольник $ABC$ — прямоугольный.

Таким образом, в обоих возможных случаях треугольник оказывается либо равнобедренным, либо прямоугольным.

Ответ: Утверждение доказано. Если центр описанной окружности лежит на медиане, то возможны два сценария. Если центр окружности не совпадает с серединой стороны, к которой проведена медиана, то эта медиана является также и высотой, и треугольник равнобедренный. Если же центр окружности совпадает с серединой этой стороны, то треугольник является прямоугольным.

400 В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром О₁, и около него описана окружность с центром О₂. Докажите, что точки О₁ и О₂ лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $?ABC$ с основанием $AC$ и равными боковыми сторонами $AB$ и $BC$. $O?$ — это центр вписанной в него окружности (инцентр), а $O?$ — центр описанной около него окружности (циркумцентр).

Проведем из вершины $B$ медиану $BM$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и высотой, и биссектрисой угла при вершине.

Рассмотрим свойства отрезка $BM$:
1. Так как $BM$ — медиана, то точка $M$ является серединой основания $AC$.
2. Так как $BM$ — высота, то она перпендикулярна основанию $AC$, то есть $BM \perp AC$.
3. Так как $BM$ — биссектриса, она делит угол $?ABC$ пополам.

Из свойств (1) и (2) следует, что прямая, содержащая отрезок $BM$, проходит через середину основания $AC$ и перпендикулярна ему. По определению, такая прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$.

Теперь докажем, что точки $O?$ и $O?$ лежат на этой прямой.

Центр вписанной окружности $O?$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Поскольку $BM$ является биссектрисой угла $?ABC$, то точка $O?$ лежит на прямой, содержащей $BM$.

Центр описанной окружности $O?$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Поскольку прямая, содержащая $BM$, является серединным перпендикуляром к стороне $AC$, то точка $O?$ также лежит на этой прямой.

Таким образом, обе точки $O?$ и $O?$ лежат на одной и той же прямой, которая является серединным перпендикуляром к основанию $AC$ равнобедренного треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

401 Даны прямая а, точка А, лежащая на этой прямой, и точка В, не лежащая на ней. Постройте окружность, проходящую через точку В и касающуюся прямой а в точке А.

Для построения искомой окружности необходимо найти её центр и радиус. Обозначим центр окружности буквой $O$, а радиус — $R$.

Анализ и план построения

Исходя из условий задачи, центр $O$ искомой окружности должен удовлетворять двум геометрическим условиям:

1. Окружность касается прямой $a$ в точке $A$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус $OA$ должен быть перпендикулярен прямой $a$. Это означает, что центр окружности $O$ лежит на прямой $p$, проходящей через точку $A$ и перпендикулярной прямой $a$.

2. Окружность проходит через точки $A$ и $B$. Это значит, что расстояния от центра окружности $O$ до этих точек равны радиусу, то есть $OA = OB = R$. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек (в нашем случае $A$ и $B$), является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Следовательно, центр $O$ должен лежать на серединном перпендикуляре $m$ к отрезку $AB$.

Таким образом, чтобы найти центр $O$ искомой окружности, необходимо построить две прямые: перпендикуляр $p$ к прямой $a$ в точке $A$ и серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$. Точка их пересечения и будет являться искомым центром $O$. Поскольку точка $B$ не лежит на прямой $a$, отрезок $AB$ не параллелен прямой $p$, а значит, прямые $p$ и $m$ не параллельны и всегда пересекаются в одной-единственной точке. Это гарантирует существование и единственность решения.

Алгоритм построения

1. Соединить точки $A$ и $B$ отрезком.
2. С помощью циркуля и линейки построить прямую $p$, проходящую через точку $A$ и перпендикулярную прямой $a$.
3. С помощью циркуля и линейки построить серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$.
4. Найти точку пересечения прямых $p$ и $m$. Обозначить эту точку $O$. Это и есть центр искомой окружности.
5. Провести окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным длине отрезка $OA$.

Доказательство

Построенная окружность с центром $O$ и радиусом $R = OA$ является искомой, так как:

1. Она касается прямой $a$ в точке $A$, поскольку по построению центр $O$ лежит на прямой $p \perp a$, проходящей через $A$. Следовательно, радиус $OA$ перпендикулярен прямой $a$ в точке $A$.

2. Она проходит через точку $B$, поскольку по построению центр $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Следовательно, точка $O$ равноудалена от точек $A$ и $B$, то есть $OA = OB$. Так как радиус окружности равен $OA$, то и расстояние $OB$ равно радиусу, а значит, точка $B$ лежит на окружности.

Таким образом, построенная окружность удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомая окружность — это окружность, центр которой находится в точке пересечения перпендикуляра к прямой $a$, восстановленного в точке $A$, и серединного перпендикуляра к отрезку $AB$. Радиус этой окружности равен расстоянию от найденного центра до точки $A$.

402 Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$ и точка $P$, не лежащая на них. Требуется построить окружность, проходящую через $P$ и касающуюся $l_1$ и $l_2$.

Анализ задачи

Геометрическое место центров окружностей, касающихся двух параллельных прямых, есть прямая, параллельная данным и проходящая посередине между ними. Назовем эту прямую $m$.

Радиус $R$ любой окружности, касающейся $l_1$ и $l_2$, равен половине расстояния между этими прямыми. Это расстояние постоянно для всех таких окружностей.

Так как искомая окружность должна проходить через точку $P$, ее центр $O$ должен быть удален от точки $P$ на расстояние, равное радиусу $R$. Иначе говоря, $OP = R$.

Таким образом, центр искомой окружности $O$ должен удовлетворять двум условиям:
1. Он должен лежать на серединной прямой $m$.
2. Он должен лежать на окружности с центром в точке $P$ и радиусом $R$.

Следовательно, центр $O$ является точкой пересечения прямой $m$ и окружности с центром $P$ и радиусом $R$.

Алгоритм построения

1. Нахождение радиуса $R$ и построение серединной прямой $m$.
   • Выберем произвольную точку $A$ на прямой $l_1$. Построим прямую, перпендикулярную $l_1$ и проходящую через $A$. Пусть она пересекает $l_2$ в точке $B$.
   • Длина отрезка $AB$ есть расстояние между прямыми. Радиус искомой окружности $R$ равен половине этого расстояния: $R = \frac{1}{2}AB$.
   • Найдем середину $M$ отрезка $AB$ (с помощью циркуля и линейки).
   • Через точку $M$ проведем прямую $m$, параллельную $l_1$. Это и есть серединная прямая.
2. Нахождение центра (или центров) $O$ искомой окружности.
   • Построим окружность с центром в данной точке $P$ и радиусом, равным $R$ (то есть равным длине отрезка $AM$).
   • Точки пересечения этой окружности с прямой $m$ являются центрами искомых окружностей. Обозначим их $O_1$ и $O_2$ (если они существуют).
3. Построение искомой окружности (окружностей).
   • Из каждой найденной точки-центра ($O_1, O_2$) проведем окружность радиусом $R$. Эти окружности будут искомыми.

Доказательство

Построенная окружность с центром $O_1$ и радиусом $R$ по построению имеет центр на серединной прямой $m$, а ее радиус равен половине расстояния между $l_1$ и $l_2$. Следовательно, она касается обеих прямых $l_1$ и $l_2$. Также по построению центр $O_1$ лежит на окружности с центром $P$ и радиусом $R$, значит, расстояние $O_1P=R$, и окружность проходит через точку $P$. Аналогично для окружности с центром $O_2$. Таким образом, построенные окружности удовлетворяют всем условиям задачи.

Исследование

Число решений задачи зависит от взаимного расположения прямой $m$ и окружности с центром $P$ и радиусом $R$. Пусть $d(P, m)$ — расстояние от точки $P$ до прямой $m$.

• Если точка $P$ расположена между прямыми $l_1$ и $l_2$, то $d(P, m) < R$. В этом случае прямая $m$ пересекает окружность с центром $P$ в двух точках. Задача имеет два решения.
• Если точка $P$ расположена вне полосы, ограниченной прямыми $l_1$ и $l_2$, то $d(P, m) > R$. В этом случае у прямой и окружности нет общих точек. Задача не имеет решений.
• Если точка $P$ лежит на одной из прямых $l_1$ или $l_2$, то $d(P, m) = R$. Прямая касается окружности в одной точке. Задача имеет одно решение. (Этот случай исключен условием задачи).

Ответ: Если точка $P$ лежит между данными параллельными прямыми, то существует две окружности, удовлетворяющие условию задачи. Если точка $P$ лежит вне полосы, образованной данными прямыми, то решений не существует. Построение описано выше.