Страница 112 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

392 Прямая ВО — ось симметрии угла АВС. Треугольник ВА₁С₁ симметричен треугольнику АВС относительно прямой ВО. Определите длины отрезков А₁С и АС₁, если ВА = 5,4 см, ВС = 35 мм.

По условию задачи, прямая ???? является осью симметрии угла ??????. Это означает, что луч ???? является биссектрисой этого угла. При осевой симметрии относительно прямой ???? луч ???? переходит в луч ????, и наоборот, луч ???? переходит в луч ????.

Треугольник ???????? симметричен треугольнику ?????? относительно прямой ????. Осевая симметрия является движением, то есть она сохраняет расстояния. Следовательно, образом точки ?? является точка ???, образом точки ?? — точка ???, а точка ??, лежащая на оси симметрии, переходит сама в себя.

Из свойства сохранения расстояний при симметрии получаем:

• $BA? = BA$
• $BC? = BC$

Так как точка ?? лежит на луче ????, ее симметричный образ, точка ???, будет лежать на симметричном образе луча ????, то есть на луче ????. Аналогично, точка ??? (образ точки ??) будет лежать на луче ????.

Приведем заданные длины к единой системе измерения (сантиметрам):

• $BA = 5,4$ см
• $BC = 35$ мм $= 3,5$ см

Теперь мы можем найти искомые длины отрезков.

Длина отрезка A?C

Точки ??, ?? и ??? лежат на одной прямой (прямой, содержащей луч ????). Расстояние от ?? до ?? равно $3,5$ см. Расстояние от ?? до ??? равно $BA? = BA = 5,4$ см. Длина отрезка ????? находится как модуль разности расстояний от общей точки ??:

$A?C = |BA? - BC| = |5,4 \text{ см} - 3,5 \text{ см}| = 1,9 \text{ см}$.

Ответ: $A?C = 1,9$ см.

Длина отрезка AC?

Точки ??, ?? и ??? лежат на одной прямой (прямой, содержащей луч ????). Расстояние от ?? до ?? равно $5,4$ см. Расстояние от ?? до ??? равно $BC? = BC = 3,5$ см. Длина отрезка ????? находится как модуль разности расстояний от общей точки ??:

$AC? = |BA - BC?| = |5,4 \text{ см} - 3,5 \text{ см}| = 1,9 \text{ см}$.

Ответ: $AC? = 1,9$ см.

393 Докажите, что если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный и осью симметрии является серединный перпендикуляр к основанию.

Решение.

Пусть p — ось симметрии △ABC. Так как точки А, В, С не лежат на одной прямой, то хотя бы одна из этих точек не лежит на прямой p. Пусть для определённости точка В не лежит на оси. Ясно, что каждая из вершин А, В, С треугольника ABC симметрична некоторой вершине того же треугольника, поэтому вершина В симметрична либо вершине С, либо вершине А. Пусть, например, В и С симметричны относительно прямой p. В этом случае точка А не может быть симметрична ни точке В, ни точке С, поэтому точка А симметрична самой себе, следовательно, точка А принадлежит прямой p. Таким образом, стороны АВ и АС треугольника ABC симметричны относительно прямой p, поэтому АВ = АС, т. е. треугольник ABC равнобедренный. Так как точки В и С симметричны относительно прямой p, то осью симметрии треугольника является серединный перпендикуляр к основанию ВС.

Пусть треугольник $ABC$ имеет ось симметрии, которую мы обозначим как прямую $p$. По определению осевой симметрии, при отображении относительно прямой $p$ треугольник $ABC$ переходит сам в себя. Это означает, что каждая вершина треугольника должна отобразиться в одну из вершин этого же треугольника.

Вершины треугольника $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой. Следовательно, хотя бы одна из них не лежит на оси симметрии $p$ (иначе все три вершины лежали бы на одной прямой $p$).

Предположим, что вершина $A$ не лежит на оси $p$. Тогда при симметрии она должна отобразиться в другую вершину, например, в $B$. В этом случае точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $p$. Тогда оставшаяся вершина $C$ может отобразиться только сама в себя, а значит, вершина $C$ должна лежать на оси симметрии $p$.

Итак, мы имеем следующую ситуацию (без потери общности): одна вершина (например, $C$) лежит на оси симметрии $p$, а две другие вершины ($A$ и $B$) симметричны друг другу относительно этой оси.

1. Докажем, что треугольник равнобедренный.

Осевая симметрия является движением, то есть она сохраняет расстояния между точками. Рассмотрим стороны $AC$ и $BC$.

При симметрии относительно прямой $p$:

• Точка $A$ отображается в точку $B$.
• Точка $C$ отображается сама в себя (так как $C$ лежит на оси $p$).

Следовательно, отрезок $AC$ отображается на отрезок $BC$. Поскольку симметрия сохраняет длины, то длина отрезка $AC$ равна длине отрезка $BC$.

$AC = BC$

Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$.

2. Докажем, что ось симметрии является серединным перпендикуляром к основанию.

Мы установили, что вершины $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $p$. По определению точек, симметричных относительно прямой, эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему данные точки.

Следовательно, ось симметрии $p$ является серединным перпендикуляром к основанию $AB$ треугольника $ABC$.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Если треугольник имеет ось симметрии, то он обязательно является равнобедренным. При этом ось симметрии проходит через одну из его вершин и является серединным перпендикуляром к противолежащей стороне (основанию), а также является биссектрисой угла при этой вершине и медианой, проведенной к основанию.

1 Что такое геометрическое место точек? Приведите примеры.

Что такое геометрическое место точек?

Геометрическое место точек (сокращенно ГМТ) — это фигура, которая представляет собой множество всех точек плоскости (или пространства), обладающих некоторым заданным свойством.
Определение ГМТ подразумевает выполнение двух обязательных условий:
1. Каждая точка, принадлежащая этой фигуре, должна обладать указанным свойством.
2. Каждая точка плоскости (или пространства), обладающая указанным свойством, должна принадлежать этой фигуре.
Иными словами, никакая точка за пределами этой фигуры не обладает заданным свойством, и ни одна точка фигуры не является исключением.

Ответ: Геометрическое место точек — это совокупность всех точек, которые удовлетворяют одному или нескольким заданным условиям.

Приведите примеры

1. Окружность. Это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной данной точки, называемой центром. Если центр окружности — точка $O$, а заданное расстояние (радиус) равно $R$, то любая точка $M$, принадлежащая окружности, удовлетворяет условию $OM = R$.

2. Серединный перпендикуляр к отрезку. Это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек (концов отрезка). Для любых двух точек $A$ и $B$ и любой точки $M$, принадлежащей серединному перпендикуляру к отрезку $AB$, выполняется равенство $MA = MB$.

3. Биссектриса угла. Это геометрическое место точек, лежащих внутри угла и равноудаленных от его сторон. Для любой точки на биссектрисе расстояние до одной стороны угла равно расстоянию до другой его стороны.

4. Пара параллельных прямых. Это геометрическое место точек плоскости, удаленных на заданное ненулевое расстояние $d$ от данной прямой $a$. Это множество состоит из двух прямых, параллельных $a$ и отстоящих от нее на расстояние $d$ с разных сторон.

5. Парабола. Это геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки (называемой фокусом) равно расстоянию до данной прямой (называемой директрисой).

Ответ: Примерами геометрического места точек являются окружность (ГМТ, равноудаленных от одной точки), серединный перпендикуляр (ГМТ, равноудаленных от двух точек), биссектриса угла (ГМТ внутри угла, равноудаленных от его сторон), пара параллельных прямых (ГМТ, находящихся на заданном расстоянии от прямой) и парабола (ГМТ, равноудаленных от точки-фокуса и прямой-директрисы).

2 Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла.

Формулировка теоремы

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум прилежащим сторонам.

Иными словами, если в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$ угла $A$ (точка $L$ лежит на стороне $BC$), то справедливо следующее равенство:
$ \frac{AB}{AC} = \frac{BL}{LC} $

Доказательство

Дано: $\triangle ABC$, $AL$ — биссектриса $\angle BAC$.
Доказать: $ \frac{AB}{AC} = \frac{BL}{LC} $.

1. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную биссектрисе $AL$. Продлим сторону $AB$ до пересечения с этой прямой в точке $D$.

2. Рассмотрим $\triangle BDC$. По обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), так как прямая $AL$ параллельна стороне $DC$ и пересекает стороны $BC$ и $BD$, она делит их в одинаковом отношении:
$ \frac{BA}{AD} = \frac{BL}{LC} $

3. Теперь докажем, что $AC = AD$. Для этого рассмотрим углы, образованные параллельными прямыми $AL$ и $DC$ и секущими $AC$ и $BD$.
- $\angle LAC = \angle ACD$ (как накрест лежащие углы при параллельных $AL$, $DC$ и секущей $AC$).
- $\angle BAL = \angle ADC$ (как соответственные углы при параллельных $AL$, $DC$ и секущей $BD$).

4. По условию, $AL$ — биссектриса угла $\angle BAC$, а это значит, что $ \angle BAL = \angle LAC $.

5. Из равенств в пунктах 3 и 4 следует, что $ \angle ACD = \angle ADC $.

6. Поскольку в треугольнике $ADC$ два угла равны, он является равнобедренным с основанием $DC$. Следовательно, его боковые стороны равны: $AC = AD$.

7. Подставим полученный результат ($AC = AD$) в пропорцию из пункта 2:
$ \frac{AB}{AC} = \frac{BL}{LC} $
Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема о биссектрисе угла утверждает, что биссектриса $AL$ угла $A$ в треугольнике $ABC$ делит противолежащую сторону $BC$ на отрезки $BL$ и $LC$ таким образом, что выполняется пропорция $ \frac{AB}{AC} = \frac{BL}{LC} $.

3 Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем биссектрисы двух его углов, например, углов $A$ и $B$. Обозначим их $l_A$ и $l_B$. Так как сумма углов треугольника $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$, то сумма двух углов $\angle A + \angle B < 180^\circ$, а значит, сумма их половин $\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B < 90^\circ$. Это означает, что лучи, на которых лежат биссектрисы, не параллельны и пересекаются в некоторой точке внутри треугольника. Обозначим эту точку пересечения как $I$.

Воспользуемся основным свойством биссектрисы угла: каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Поскольку точка $I$ лежит на биссектрисе $l_A$ угла $A$, она равноудалена от сторон $AB$ и $AC$. Обозначим расстояние от точки $I$ до прямой, содержащей сторону $XY$, как $d(I, XY)$. Тогда $d(I, AB) = d(I, AC)$.

Поскольку точка $I$ также лежит на биссектрисе $l_B$ угла $B$, она равноудалена от сторон $BA$ и $BC$. То есть, $d(I, BA) = d(I, BC)$.

Из этих двух равенств получаем, что $d(I, AC) = d(I, AB) = d(I, BC)$. В частности, $d(I, AC) = d(I, BC)$.

Равенство $d(I, AC) = d(I, BC)$ означает, что точка $I$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$, образующих угол $C$. Согласно теореме, обратной свойству биссектрисы, каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Следовательно, точка $I$ лежит на биссектрисе $l_C$ угла $C$.

Таким образом, точка пересечения биссектрис $l_A$ и $l_B$ принадлежит и третьей биссектрисе $l_C$. Это означает, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке $I$. Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.

Ответ: Утверждение доказано. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

4 Какая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку?

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, которая одновременно удовлетворяет двум ключевым условиям: она перпендикулярна данному отрезку и проходит через его середину.

Рассмотрим это определение более подробно. Пусть у нас есть отрезок $AB$. Прямая $m$ будет являться серединным перпендикуляром к этому отрезку, если выполнены следующие условия:

1. Перпендикулярность. Прямая $m$ должна быть перпендикулярна отрезку $AB$. Это означает, что угол между прямой $m$ и прямой, содержащей отрезок $AB$, равен $90^\circ$. Математически это записывается как $m \perp AB$.

2. Прохождение через середину. Прямая $m$ должна пересекать отрезок $AB$ точно в его середине. Если точка $C$ — это точка пересечения прямой $m$ и отрезка $AB$, то она должна быть серединой отрезка $AB$. Это означает, что она делит отрезок на две равные части: $AC = CB$.

Таким образом, серединный перпендикуляр — это уникальная прямая для каждого отрезка, обладающая этими двумя свойствами.

Важно также упомянуть основное свойство серединного перпендикуляра: каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Это значит, что если взять любую точку $P$ на прямой $m$, то расстояние от $P$ до точки $A$ будет равно расстоянию от $P$ до точки $B$ ($PA = PB$). Это свойство часто используется в геометрических доказательствах и построениях.

Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная ему.

5 Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.

Формулировка теоремы

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Эти два утверждения часто объединяют в одно: серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от концов этого отрезка.

Доказательство теоремы

Теорема состоит из двух взаимно обратных утверждений. Докажем каждое из них.

1. Прямая теорема. Докажем, что любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от его концов.

Пусть имеется отрезок $AB$ и прямая $p$, которая является серединным перпендикуляром к нему. Пусть прямая $p$ пересекает отрезок $AB$ в точке $M$. По определению серединного перпендикуляра, $p \perp AB$ и $M$ — середина $AB$, то есть $AM = MB$.

Возьмем на прямой $p$ произвольную точку $K$. Соединим точку $K$ с точками $A$ и $B$. Рассмотрим треугольники $\triangle KMA$ и $\triangle KMB$. Они оба являются прямоугольными, так как $KM \perp AB$ (поскольку $K$ и $M$ лежат на прямой $p$).

В этих треугольниках:

• Катет $KM$ — общий.
• Катет $AM$ равен катету $MB$, так как $M$ — середина отрезка $AB$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle KMA$ и $\triangle KMB$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в данном случае — гипотенуз: $KA = KB$.

Поскольку точка $K$ была выбрана на серединном перпендикуляре произвольно, мы доказали, что любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.

2. Обратная теорема. Докажем, что любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Пусть точка $K$ такова, что ее расстояния до концов отрезка $AB$ равны, то есть $KA = KB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AKB$. Поскольку две его стороны равны ($KA=KB$), он является равнобедренным с основанием $AB$.

Проведем из вершины $K$ медиану $KM$ к основанию $AB$. По определению медианы, точка $M$ является серединой отрезка $AB$.

По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является также и высотой. Следовательно, $KM \perp AB$.

Таким образом, прямая, проходящая через точки $K$ и $M$, перпендикулярна отрезку $AB$ и проходит через его середину. По определению, эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Следовательно, точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

Оба утверждения доказаны. Теорема доказана полностью.

Ответ: Теорема о серединном перпендикуляре утверждает, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов, и наоборот, каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Доказательство основано на признаках равенства треугольников (для прямой теоремы) и свойствах равнобедренного треугольника (для обратной теоремы).