Страница 110 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

374 Начертите прямую l. Отметьте точки А и В, не лежащие на этой прямой, и точку С, принадлежащую ей. Постройте точки А₁, В₁, С₁, симметричные данным точкам относительно прямой l. С помощью масштабной линейки сравните длины отрезков АВ и А₁В₁, АС и А₁С₁, ВС и В₁С₁.

Для решения задачи выполним следующие построения и рассуждения.

1. Начертим прямую l.

2. Отметим точки A и B, не лежащие на прямой l (для наглядности расположим их по одну сторону от прямой). Отметим точку C, принадлежащую прямой l.

3. Построим точки A?, B?, C?, симметричные данным точкам относительно прямой l.

• Построение точки A?: Из точки A опустим перпендикуляр на прямую l. Обозначим основание перпендикуляра как H?. На продолжении отрезка AH? за точку H? отложим отрезок H?A?, равный отрезку AH?. Точка A? будет симметрична точке A относительно прямой l.
• Построение точки B?: Аналогично, из точки B опустим перпендикуляр на прямую l (основание H?) и на его продолжении отложим отрезок H?B?, равный отрезку BH?.
• Построение точки C?: Так как точка C лежит на оси симметрии l, ее симметричное отображение совпадает с самой точкой. Таким образом, C? = C.

Ниже представлен чертеж, иллюстрирующий построение.

375 Начертите прямую l. Отметьте точку А, не лежащую на этой прямой. Постройте точку А₁, симметричную точке А, с помощью одного циркуля.

Для построения точки $A_1$, симметричной точке $A$ относительно прямой $l$ с помощью одного только циркуля, необходимо выполнить следующую последовательность действий. Подразумевается, что прямая $l$ задана, и мы можем выбирать на ней любые точки.

1. Выбираем на прямой $l$ две произвольные различные точки и назовем их $C$ и $D$.

2. Устанавливаем ножку циркуля в точку $C$ и проводим окружность (или ее дугу), проходящую через точку $A$. Радиус этой окружности равен длине отрезка $CA$.

3. Затем устанавливаем ножку циркуля в точку $D$ и проводим вторую окружность (или ее дугу), также проходящую через точку $A$. Радиус этой окружности равен длине отрезка $DA$.

4. Две построенные окружности пересекутся в двух точках. Одна из этих точек — это исходная точка $A$. Вторая точка пересечения и является искомой точкой $A_1$.

Данное построение является верным, так как оно основывается на определении симметричных точек и свойстве серединного перпендикуляра. Точка $A_1$ называется симметричной точке $A$ относительно прямой $l$, если прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA_1$. В нашем построении точка $C$ равноудалена от $A$ и $A_1$ (поскольку $CA$ и $CA_1$ являются радиусами одной и той же окружности, то $CA = CA_1$), и точка $D$ также равноудалена от $A$ и $A_1$ (по аналогичной причине, $DA = DA_1$). Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка, — это его серединный перпендикуляр. Поскольку обе точки $C$ и $D$ принадлежат этому множеству для отрезка $AA_1$ и в то же время лежат на прямой $l$, то прямая $l$ и есть серединный перпендикуляр к отрезку $AA_1$. Следовательно, построенная точка $A_1$ является искомой.

Ответ: Для построения точки $A_1$, симметричной точке $A$ относительно прямой $l$ с помощью одного циркуля, необходимо выбрать на прямой $l$ две произвольные точки $C$ и $D$, построить окружность с центром в $C$, проходящую через $A$, и окружность с центром в $D$, также проходящую через $A$. Вторая точка пересечения этих окружностей (кроме точки $A$) и будет искомой точкой $A_1$.

376 Отметьте две точки и постройте их ось симметрии.

Осью симметрии двух различных точек (назовем их A и B) является прямая, которая перпендикулярна отрезку, соединяющему эти точки, и проходит через его середину. Такая прямая называется серединным перпендикуляром. Каждая точка этой прямой равноудалена от точек A и B.

Для построения оси симметрии двух точек с помощью циркуля и линейки необходимо выполнить следующие шаги:

1. Отметить на плоскости две произвольные точки, назовем их A и B.
2. Взять циркуль и установить его раствор (радиус) так, чтобы он был больше половины расстояния между точками A и B.
3. Поставить острие циркуля в точку A и провести дугу окружности.
4. Не меняя раствор циркуля, поставить его острие в точку B и провести вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух местах. Обозначим эти точки пересечения как P и Q.
5. С помощью линейки провести прямую через точки P и Q.

Полученная прямая PQ и есть искомая ось симметрии для точек A и B.

Ответ: Чтобы построить ось симметрии двух точек, необходимо построить серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Для этого из каждой точки как из центра проводят дуги одинакового радиуса (большего, чем половина расстояния между точками). Прямая, проведенная через две точки пересечения этих дуг, и является искомой осью симметрии.

377 Даны две точки А и В, симметричные относительно некоторой прямой, и точка М. Постройте точку, симметричную точке М относительно той же прямой.

Для решения задачи необходимо сначала найти ось симметрии, относительно которой симметричны точки $A$ и $B$, а затем построить точку, симметричную точке $M$ относительно этой оси.

Этап 1: Построение оси симметрии

По определению, если две точки симметричны относительно некоторой прямой, то эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Таким образом, искомая ось симметрии $a$ — это серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Построим его.

1. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком.
2. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R$, который больше половины длины отрезка $AB$ ($R > \frac{1}{2}AB$).
3. Построим вторую окружность с центром в точке $B$ и тем же радиусом $R$.
4. Эти две окружности пересекутся в двух точках, назовем их $P_1$ и $P_2$.
5. Проведем прямую через точки $P_1$ и $P_2$. Эта прямая и есть искомая ось симметрии $a$.

Этап 2: Построение точки $M'$, симметричной точке $M$

Теперь, когда у нас есть ось симметрии $a$, мы можем построить точку $M'$, симметричную точке $M$. По определению, прямая $a$ должна быть серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Точка $M$ не лежит на прямой $a$.

1. Проведем окружность с центром в точке $M$ такого радиуса, чтобы она пересекла прямую $a$ в двух точках. Обозначим эти точки $K_1$ и $K_2$.
2. Теперь построим две новые окружности: одну с центром в точке $K_1$ и радиусом, равным отрезку $K_1M$, и вторую с центром в точке $K_2$ и радиусом, равным отрезку $K_2M$. Так как точки $K_1$ и $K_2$ равноудалены от $M$, радиусы этих окружностей будут одинаковы.
3. Эти две окружности пересекутся в двух точках. Одна из них — это исходная точка $M$, а вторая — искомая точка $M'$.

Случай 2: Точка $M$ лежит на прямой $a$.

Если точка лежит на оси симметрии, то она отображается сама в себя. Следовательно, в этом случае точка $M'$ совпадает с точкой $M$.

Ответ: Искомая точка $M'$ строится путем последовательного выполнения двух этапов: сначала строится ось симметрии $a$ как серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, а затем относительно этой прямой строится точка, симметричная точке $M$.

378 Начертите треугольник ABC и прямую p, не пересекающую его стороны. Постройте треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC относительно прямой p. Пользуясь масштабной линейкой и транспортиром, убедитесь в том, что стороны и углы треугольника A₁B₁C₁ соответственно равны сторонам и углам треугольника ABC. Выполните ещё раз построение для случая, когда прямая p пересекает две стороны треугольника.

Построение для случая, когда прямая p не пересекает стороны треугольника

1. Сначала начертим на плоскости произвольный треугольник $ABC$ и прямую $p$, расположенную так, чтобы она не пересекала ни одну из его сторон. Это означает, что все вершины треугольника ($A$, $B$, $C$) лежат по одну сторону от прямой $p$.

2. Чтобы построить треугольник $A_1B_1C_1$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $p$, нам нужно найти точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, которые являются симметричными образами вершин $A$, $B$, $C$ соответственно.

3. Построение точки $A_1$, симметричной точке $A$:

• Из точки $A$ опускаем перпендикуляр на прямую $p$. Для этого можно использовать угольник или построение с помощью циркуля и линейки. Обозначим точку пересечения перпендикуляра с прямой $p$ как $H_A$.
• С помощью линейки измеряем длину отрезка $AH_A$.
• На луче $AH_A$ от точки $H_A$ откладываем отрезок $H_AA_1$ такой же длины, что и $AH_A$. Точка $A_1$ и есть искомая точка, симметричная точке $A$.

4. Аналогичным образом выполняем построение для вершин $B$ и $C$:

• Строим перпендикуляр $BH_B$ к прямой $p$ и на его продолжении откладываем отрезок $H_BB_1$ так, чтобы $H_BB_1 = BH_B$.
• Строим перпендикуляр $CH_C$ к прямой $p$ и на его продолжении откладываем отрезок $H_CC_1$ так, чтобы $H_CC_1 = CH_C$.

5. Соединяем полученные точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ отрезками. Треугольник $A_1B_1C_1$ является симметричным треугольнику $ABC$ относительно прямой $p$.

6. Проверка с помощью измерительных инструментов:

• Измерение сторон: С помощью масштабной линейки измеряем длины сторон обоих треугольников. Мы убедимся, что $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $CA = C_1A_1$.
• Измерение углов: С помощью транспортира измеряем углы обоих треугольников. Мы убедимся, что $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$.

Проверка показывает, что осевая симметрия является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния и углы. Поэтому треугольник $ABC$ равен треугольнику $A_1B_1C_1$.

Ответ: Построение выполнено согласно алгоритму осевой симметрии. Проверка с помощью линейки и транспортира подтверждает, что стороны и углы треугольника $A_1B_1C_1$ соответственно равны сторонам и углам треугольника $ABC$.

Построение для случая, когда прямая p пересекает две стороны треугольника

1. Начертим новый треугольник $ABC$ и прямую $p$, которая пересекает две его стороны, например, стороны $AB$ и $AC$. В таком случае одна вершина (в нашем примере $A$) будет лежать по одну сторону от прямой $p$, а две другие вершины ($B$ и $C$) — по другую.

2. Алгоритм построения симметричного треугольника $A_1B_1C_1$ точно такой же, как и в первом случае. Необходимо для каждой вершины $A$, $B$, $C$ найти ее симметричный образ $A_1$, $B_1$, $C_1$ относительно прямой $p$.

3. Построение симметричных точек:

• Для вершины $A$: опускаем перпендикуляр из $A$ на прямую $p$ в точку $H_A$ и откладываем на его продолжении отрезок $H_AA_1 = AH_A$. Точка $A_1$ окажется на противоположной стороне прямой $p$ относительно своего исходного положения.
• Для вершины $B$: опускаем перпендикуляр из $B$ на прямую $p$ в точку $H_B$ и откладываем на его продолжении отрезок $H_BB_1 = BH_B$.
• Для вершины $C$: опускаем перпендикуляр из $C$ на прямую $p$ в точку $H_C$ и откладываем на его продолжении отрезок $H_CC_1 = CH_C$.

Обратите внимание, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ будут расположены "зеркально" по отношению к исходным точкам. Если $A$ была слева от прямой, то $A_1$ будет справа, а если $B$ и $C$ были справа, то $B_1$ и $C_1$ будут слева.

4. Соединяем точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ отрезками. Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ является искомым. В данном случае исходный и построенный треугольники будут частично накладываться друг на друга (пересекаться).

Как и в первом случае, осевая симметрия сохраняет все геометрические свойства фигуры. Поэтому, если бы мы снова провели измерения линейкой и транспортиром, мы бы получили тот же результат: стороны и углы треугольника $A_1B_1C_1$ соответственно равны сторонам и углам треугольника $ABC$ ($\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$).

Ответ: Построение выполнено. Треугольник $A_1B_1C_1$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно пересекающей его прямой $p$, построен. По свойству осевой симметрии, его стороны и углы соответственно равны сторонам и углам исходного треугольника $ABC$.

379 Начертите следующие фигуры и для каждой из них постройте ось симметрии, если она существует: а) отрезок AB; б) угол hk; в) равнобедренный треугольник; г) разносторонний треугольник; д) равносторонний треугольник.

а) отрезок AB

Осью симметрии отрезка является прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину. Такую прямую называют серединным перпендикуляром. У отрезка существует только одна ось симметрии.

Для построения оси симметрии отрезка AB нужно:

1. Из точек A и B, как из центров, провести две дуги окружности одинакового радиуса (радиус должен быть больше половины длины отрезка AB).
2. Через две точки пересечения этих дуг провести прямую.
3. Эта прямая и будет являться осью симметрии отрезка AB.

Ответ: осью симметрии отрезка является его серединный перпендикуляр.

б) угол hk

Осью симметрии неразвернутого угла ($\angle hk$) является прямая, на которой лежит биссектриса этого угла. Биссектриса делит угол на два равных угла. У такого угла существует только одна ось симметрии.

Для построения оси симметрии угла с вершиной в точке O и сторонами h и k нужно:

1. Провести окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла O. Она пересечет стороны угла в точках M (на стороне h) и N (на стороне k).
2. Из точек M и N провести две дуги окружности одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла в точке P.
3. Провести луч OP. Прямая, содержащая этот луч, является осью симметрии угла.

Ответ: осью симметрии угла является прямая, содержащая его биссектрису.

в) равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник (который не является равносторонним) имеет одну ось симметрии. Эта ось проходит через вершину, образованную равными сторонами, и середину основания (третьей стороны). Эта прямая также является биссектрисой угла при вершине, медианой и высотой, проведенной к основанию.

Для построения оси симметрии равнобедренного треугольника ABC с основанием AC нужно:

1. Найти середину основания AC. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к стороне AC.
2. Провести прямую через вершину B и найденную середину стороны AC. Эта прямая и будет осью симметрии.

Ответ: равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии — прямую, на которой лежит высота (а также медиана и биссектриса), проведенная к его основанию.

г) разносторонний треугольник

Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Такой треугольник не имеет осей симметрии. При симметричном отражении относительно любой прямой его изображение не совпадет с исходной фигурой, так как у него нет равных сторон и, как следствие, нет симметричного расположения вершин.

Ответ: разносторонний треугольник не имеет осей симметрии.

д) равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. Он имеет три оси симметрии. Каждая ось симметрии проходит через одну из вершин треугольника и середину противоположной стороны. Каждая такая ось является одновременно высотой, медианой и биссектрисой, проведенной из данной вершины.

Для построения осей симметрии равностороннего треугольника нужно для каждой стороны построить серединный перпендикуляр. Каждый из этих перпендикуляров пройдет через противоположную вершину и будет являться осью симметрии.

Ответ: равносторонний треугольник имеет три оси симметрии. Каждая из них является высотой (а также медианой и биссектрисой), проведенной к одной из его сторон.

380 Начертите фигуру, имеющую: а) только одну ось симметрии; б) несколько осей симметрии.

а) только одну ось симметрии

Осью симметрии фигуры называется прямая, которая делит фигуру на две части таким образом, что каждая точка одной части является зеркальным отражением соответствующей точки другой части относительно этой прямой. Фигура с одной осью симметрии при "перегибании" по этой оси полностью совпадает сама с собой.

Простейшим примером фигуры, имеющей только одну ось симметрии, является равнобедренный треугольник (у которого боковые стороны равны, а основание имеет другую длину). Единственная ось симметрии такого треугольника — это прямая, содержащая высоту, медиану и биссектрису, проведенную из вершины, соединяющей равные стороны, к основанию.

На рисунке изображен равнобедренный треугольник, а красная пунктирная линия — его единственная ось симметрии. Другими примерами могут служить равнобокая трапеция или фигура в форме сердца.

Ответ: Примером фигуры с одной осью симметрии является равнобедренный (но не равносторонний) треугольник. Осью симметрии для него служит прямая, на которой лежит высота, опущенная на основание.

б) несколько осей симметрии

Фигура, имеющая несколько осей симметрии, — это фигура, у которой существует более одной прямой, относительно которой она симметрична. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: Прямоугольник (не квадрат)
Прямоугольник имеет две оси симметрии. Каждая из них проходит через середины противолежащих сторон. Диагонали прямоугольника, в общем случае, осями симметрии не являются.

Пример 2: Квадрат
Квадрат обладает четырьмя осями симметрии. Две из них проходят через середины противолежащих сторон (как у прямоугольника), а две другие совпадают с его диагоналями.

Пример 3: Окружность
Окружность имеет бесконечное множество осей симметрии. Любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.

Ответ: Примерами фигур, имеющих несколько осей симметрии, могут служить прямоугольник (2 оси), равносторонний треугольник (3 оси), квадрат (4 оси) или окружность (бесконечно много осей).

381 Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч; г) угол?

Ось симметрии фигуры — это прямая, относительно которой каждая точка фигуры симметрична некоторой другой точке этой же фигуры. Иными словами, при отражении относительно оси симметрии фигура переходит сама в себя.
У отрезка есть две оси симметрии:
1. Прямая, на которой лежит сам отрезок. При отражении относительно этой прямой все точки отрезка остаются на месте.
2. Серединный перпендикуляр к отрезку, то есть прямая, которая перпендикулярна отрезку и проходит через его середину. При отражении относительно этой прямой концы отрезка меняются местами, а сама фигура (отрезок) совмещается сама с собой.
Других осей симметрии у отрезка нет.
Ответ: 2.

У прямой бесконечно много осей симметрии. Ими являются:
1. Сама эта прямая. При отражении относительно нее все ее точки остаются на своих местах.
2. Любая прямая, перпендикулярная данной. При отражении относительно такой прямой каждая точка исходной прямой переходит в другую точку на этой же прямой, симметричную относительно точки пересечения осей. Так как через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, а точек на прямой бесконечно много, то и количество таких осей симметрии бесконечно.
Ответ: бесконечно много.

Луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку и не имеет конца. У луча есть только одна ось симметрии.
Этой осью является прямая, содержащая сам луч. При отражении относительно этой прямой все точки луча остаются на месте, следовательно, луч переходит сам в себя.
Любая другая прямая не является осью симметрии для луча. Например, если провести прямую, перпендикулярную лучу через его начало, то при отражении луч перейдет в луч, направленный в противоположную сторону.
Ответ: 1.

Угол (если он не является развернутым или нулевым, т.е. его градусная мера $\alpha$ удовлетворяет условию $0^\circ < \alpha < 180^\circ$) имеет одну ось симметрии.
Этой осью является прямая, на которой лежит биссектриса данного угла. Биссектриса делит угол пополам, и при отражении относительно прямой, содержащей биссектрису, стороны угла меняются местами, а сам угол совмещается с самим собой.
Стоит отметить, что развернутый угол ($180^\circ$) является прямой, поэтому у него бесконечно много осей симметрии. Нулевой угол является лучом, поэтому у него одна ось симметрии. В стандартном школьном курсе под "углом" обычно понимают именно неразвернутый и ненулевой угол.
Ответ: 1.

382 Перенесите в тетрадь таблицу. Нарисуйте примеры фигур с данным числом осей.

Не имеет оси

Фигура, не имеющая оси симметрии, не может быть разделена прямой линией на две зеркально-симметричные части. Примером такой фигуры является разносторонний треугольник, у которого все стороны и углы имеют разную величину, или параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом. Также можно привести в пример произвольный многоугольник без симметрии.

Ответ: Разносторонний треугольник.

Одна ось

Фигура с одной осью симметрии имеет только одну линию, относительно которой ее можно сложить так, чтобы две половины полностью совпали. Классическим примером является равнобедренный треугольник (который не является равносторонним). Его ось симметрии проходит через вершину, образованную двумя равными сторонами, и середину основания. Другие примеры: равнобедренная трапеция, воздушный змей (дельтоид).

Ответ: Равнобедренный треугольник.

Две оси

Фигура с двумя осями симметрии. Примером такой фигуры служит прямоугольник, не являющийся квадратом. Его оси симметрии проходят через середины противоположных сторон и являются взаимно перпендикулярными. Другим примером является ромб (не квадрат), у которого оси симметрии совпадают с его диагоналями.

Ответ: Прямоугольник.

Три оси

Фигурой с тремя осями симметрии является равносторонний (правильный) треугольник. Каждая из трех осей симметрии проходит через одну из вершин и середину противоположной стороны. Эти оси также являются высотами, медианами и биссектрисами треугольника и пересекаются в одной точке под углом $60^\circ$ друг к другу.

Ответ: Равносторонний треугольник.

Бесконечное число осей

Фигурой, обладающей бесконечным числом осей симметрии, является круг. Любая прямая, проходящая через центр круга, является его осью симметрии. Так как через центр можно провести бесконечное множество таких прямых, у круга бесконечное число осей симметрии.

Ответ: Круг.