Номер 378, страница 110 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Параграф 3. Симметричные фигуры. 45. Осевая симметрия и её свойства - номер 378, страница 110.

Условие.

378 Начертите треугольник ABC и прямую p, не пересекающую его стороны. Постройте треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC относительно прямой p. Пользуясь масштабной линейкой и транспортиром, убедитесь в том, что стороны и углы треугольника A₁B₁C₁ соответственно равны сторонам и углам треугольника ABC. Выполните ещё раз построение для случая, когда прямая p пересекает две стороны треугольника.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Построение для случая, когда прямая p не пересекает стороны треугольника

1. Сначала начертим на плоскости произвольный треугольник $ABC$ и прямую $p$, расположенную так, чтобы она не пересекала ни одну из его сторон. Это означает, что все вершины треугольника ($A$, $B$, $C$) лежат по одну сторону от прямой $p$.

2. Чтобы построить треугольник $A_1B_1C_1$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $p$, нам нужно найти точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, которые являются симметричными образами вершин $A$, $B$, $C$ соответственно.

3. Построение точки $A_1$, симметричной точке $A$:

• Из точки $A$ опускаем перпендикуляр на прямую $p$. Для этого можно использовать угольник или построение с помощью циркуля и линейки. Обозначим точку пересечения перпендикуляра с прямой $p$ как $H_A$.
• С помощью линейки измеряем длину отрезка $AH_A$.
• На луче $AH_A$ от точки $H_A$ откладываем отрезок $H_AA_1$ такой же длины, что и $AH_A$. Точка $A_1$ и есть искомая точка, симметричная точке $A$.

4. Аналогичным образом выполняем построение для вершин $B$ и $C$:

• Строим перпендикуляр $BH_B$ к прямой $p$ и на его продолжении откладываем отрезок $H_BB_1$ так, чтобы $H_BB_1 = BH_B$.
• Строим перпендикуляр $CH_C$ к прямой $p$ и на его продолжении откладываем отрезок $H_CC_1$ так, чтобы $H_CC_1 = CH_C$.

5. Соединяем полученные точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ отрезками. Треугольник $A_1B_1C_1$ является симметричным треугольнику $ABC$ относительно прямой $p$.

6. Проверка с помощью измерительных инструментов:

• Измерение сторон: С помощью масштабной линейки измеряем длины сторон обоих треугольников. Мы убедимся, что $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $CA = C_1A_1$.
• Измерение углов: С помощью транспортира измеряем углы обоих треугольников. Мы убедимся, что $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$.

Проверка показывает, что осевая симметрия является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния и углы. Поэтому треугольник $ABC$ равен треугольнику $A_1B_1C_1$.

Ответ: Построение выполнено согласно алгоритму осевой симметрии. Проверка с помощью линейки и транспортира подтверждает, что стороны и углы треугольника $A_1B_1C_1$ соответственно равны сторонам и углам треугольника $ABC$.

---

Построение для случая, когда прямая p пересекает две стороны треугольника

1. Начертим новый треугольник $ABC$ и прямую $p$, которая пересекает две его стороны, например, стороны $AB$ и $AC$. В таком случае одна вершина (в нашем примере $A$) будет лежать по одну сторону от прямой $p$, а две другие вершины ($B$ и $C$) — по другую.

2. Алгоритм построения симметричного треугольника $A_1B_1C_1$ точно такой же, как и в первом случае. Необходимо для каждой вершины $A$, $B$, $C$ найти ее симметричный образ $A_1$, $B_1$, $C_1$ относительно прямой $p$.

3. Построение симметричных точек:

• Для вершины $A$: опускаем перпендикуляр из $A$ на прямую $p$ в точку $H_A$ и откладываем на его продолжении отрезок $H_AA_1 = AH_A$. Точка $A_1$ окажется на противоположной стороне прямой $p$ относительно своего исходного положения.
• Для вершины $B$: опускаем перпендикуляр из $B$ на прямую $p$ в точку $H_B$ и откладываем на его продолжении отрезок $H_BB_1 = BH_B$.
• Для вершины $C$: опускаем перпендикуляр из $C$ на прямую $p$ в точку $H_C$ и откладываем на его продолжении отрезок $H_CC_1 = CH_C$.

Обратите внимание, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ будут расположены "зеркально" по отношению к исходным точкам. Если $A$ была слева от прямой, то $A_1$ будет справа, а если $B$ и $C$ были справа, то $B_1$ и $C_1$ будут слева.

4. Соединяем точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ отрезками. Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ является искомым. В данном случае исходный и построенный треугольники будут частично накладываться друг на друга (пересекаться).

Как и в первом случае, осевая симметрия сохраняет все геометрические свойства фигуры. Поэтому, если бы мы снова провели измерения линейкой и транспортиром, мы бы получили тот же результат: стороны и углы треугольника $A_1B_1C_1$ соответственно равны сторонам и углам треугольника $ABC$ ($\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$).

Ответ: Построение выполнено. Треугольник $A_1B_1C_1$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно пересекающей его прямой $p$, построен. По свойству осевой симметрии, его стороны и углы соответственно равны сторонам и углам исходного треугольника $ABC$.