Номер 373, страница 106 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 373, страница 106.

373 В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром О, и около него описана окружность с центром Е. Докажите, что точки О и Е лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными сторонами $AB=BC$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AC$.

По свойству равнобедренного треугольника, высота, проведенная к основанию, является одновременно и медианой, и биссектрисой. Это означает, что:

• $BH$ перпендикулярна $AC$ ($BH \perp AC$).
• $H$ — середина основания $AC$ ($AH = HC$).
• $BH$ — биссектриса угла $\angle ABC$.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину этого отрезка и перпендикулярная ему. Поскольку $BH \perp AC$ и $H$ — середина $AC$, прямая, содержащая высоту $BH$, является серединным перпендикуляром к основанию $AC$.

Теперь докажем, что точки $O$ и $E$ лежат на этой прямой.

1. Положение центра вписанной окружности (точки $O$).
Центр вписанной в треугольник окружности (инцентр) является точкой пересечения его биссектрис. Так как $BH$ — это биссектриса угла $\angle ABC$, то точка пересечения всех биссектрис, точка $O$, должна лежать на прямой, содержащей $BH$. Следовательно, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к основанию $AC$.

2. Положение центра описанной окружности (точки $E$).
Центр описанной около треугольника окружности (циркумцентр) является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Прямая, содержащая $BH$, как мы установили, является серединным перпендикуляром к стороне $AC$. Следовательно, точка $E$, как точка пересечения всех серединных перпендикуляров, должна лежать на этой прямой. Таким образом, точка $E$ также лежит на серединном перпендикуляре к основанию $AC$.

Итак, мы доказали, что обе точки, $O$ и $E$, лежат на одной и той же прямой — серединном перпендикуляре к основанию равнобедренного треугольника.

Ответ: Доказано, что точки $O$ (центр вписанной окружности) и $E$ (центр описанной окружности) лежат на серединном перпендикуляре к основанию равнобедренного треугольника, так как обе они лежат на оси симметрии треугольника, которая совпадает с этим перпендикуляром.