Номер 374, страница 110 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

45. Осевая симметрия и её свойства. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 374, страница 110.

374 Начертите прямую l. Отметьте точки А и В, не лежащие на этой прямой, и точку С, принадлежащую ей. Постройте точки А₁, В₁, С₁, симметричные данным точкам относительно прямой l. С помощью масштабной линейки сравните длины отрезков АВ и А₁В₁, АС и А₁С₁, ВС и В₁С₁.

Для решения задачи выполним следующие построения и рассуждения.

1. Начертим прямую l.

2. Отметим точки A и B, не лежащие на прямой l (для наглядности расположим их по одну сторону от прямой). Отметим точку C, принадлежащую прямой l.

3. Построим точки A?, B?, C?, симметричные данным точкам относительно прямой l.

• Построение точки A?: Из точки A опустим перпендикуляр на прямую l. Обозначим основание перпендикуляра как H?. На продолжении отрезка AH? за точку H? отложим отрезок H?A?, равный отрезку AH?. Точка A? будет симметрична точке A относительно прямой l.
• Построение точки B?: Аналогично, из точки B опустим перпендикуляр на прямую l (основание H?) и на его продолжении отложим отрезок H?B?, равный отрезку BH?.
• Построение точки C?: Так как точка C лежит на оси симметрии l, ее симметричное отображение совпадает с самой точкой. Таким образом, C? = C.

Ниже представлен чертеж, иллюстрирующий построение.

l A H? A? B H? B? C (C?)

Теперь сравним длины указанных отрезков. Осевая симметрия является движением (изометрией), что означает, что она сохраняет расстояния между точками. Следовательно, расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между их симметричными образами.

Сравнение длин отрезков AB и A?B?

Поскольку точка $A?$ симметрична точке $A$, а точка $B?$ симметрична точке $B$ относительно прямой $l$, то по свойству осевой симметрии как движения, расстояние между точками $A$ и $B$ равно расстоянию между их образами $A?$ и $B?$. Если измерить длины отрезков $AB$ и $A?B?$ масштабной линейкой, мы убедимся, что они равны.

Теоретически это доказывается тем, что при симметрии сохраняются длины. Если ввести систему координат так, чтобы прямая $l$ была осью Ox, то для точки $A(x_A, y_A)$ симметричной будет точка $A_1(x_A, -y_A)$, а для точки $B(x_B, y_B)$ - точка $B_1(x_B, -y_B)$. Длина отрезка $AB$ вычисляется по формуле: $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$. Длина отрезка $A_1B_1$ равна: $A_1B_1 = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (-y_B - (-y_A))^2} = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (-y_B+y_A)^2} = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_A-y_B)^2}$. Таким образом, $AB = A_1B_1$.

Ответ: $AB = A_1B_1$.

Сравнение длин отрезков AC и A?C?

Как было установлено, точка $C?$ совпадает с точкой $C$, так как $C$ лежит на оси симметрии. Поэтому мы сравниваем длины отрезков $AC$ и $A?C$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AH_aC$ и $\triangle A_1H_aC$.

1. Катет $AH_a$ равен катету $A_1H_a$ по определению симметрии.
2. Катет $CH_a$ является общим для обоих треугольников.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AH_aC$ и $\triangle A_1H_aC$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AC = A_1C$. Так как $C=C_1$, то $AC = A_1C_1$. Измерение линейкой также покажет равенство этих длин.

Ответ: $AC = A_1C_1$.

Сравнение длин отрезков BC и B?C?

Рассуждения полностью аналогичны предыдущему пункту. Мы сравниваем длины отрезков $BC$ и $B?C$, так как $C=C_1$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BH_eC$ и $\triangle B_1H_eC$.

1. Катет $BH_e$ равен катету $B_1H_e$ по определению симметрии.
2. Катет $CH_e$ является общим.

Треугольники $\triangle BH_eC$ и $\triangle B_1H_eC$ равны по двум катетам. Следовательно, их гипотенузы равны: $BC = B_1C$. Учитывая, что $C=C_1$, получаем $BC = B_1C_1$. Измерения линейкой подтвердят этот вывод.

Ответ: $BC = B_1C_1$.