Номер 377, страница 110 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

45. Осевая симметрия и её свойства. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 377, страница 110.

377 Даны две точки А и В, симметричные относительно некоторой прямой, и точка М. Постройте точку, симметричную точке М относительно той же прямой.

Для решения задачи необходимо сначала найти ось симметрии, относительно которой симметричны точки $A$ и $B$, а затем построить точку, симметричную точке $M$ относительно этой оси.

Этап 1: Построение оси симметрии

По определению, если две точки симметричны относительно некоторой прямой, то эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Таким образом, искомая ось симметрии $a$ — это серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Построим его.

1. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком.
2. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R$, который больше половины длины отрезка $AB$ ($R > \frac{1}{2}AB$).
3. Построим вторую окружность с центром в точке $B$ и тем же радиусом $R$.
4. Эти две окружности пересекутся в двух точках, назовем их $P_1$ и $P_2$.
5. Проведем прямую через точки $P_1$ и $P_2$. Эта прямая и есть искомая ось симметрии $a$.

Этап 2: Построение точки $M'$, симметричной точке $M$

Теперь, когда у нас есть ось симметрии $a$, мы можем построить точку $M'$, симметричную точке $M$. По определению, прямая $a$ должна быть серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Точка $M$ не лежит на прямой $a$.

1. Проведем окружность с центром в точке $M$ такого радиуса, чтобы она пересекла прямую $a$ в двух точках. Обозначим эти точки $K_1$ и $K_2$.
2. Теперь построим две новые окружности: одну с центром в точке $K_1$ и радиусом, равным отрезку $K_1M$, и вторую с центром в точке $K_2$ и радиусом, равным отрезку $K_2M$. Так как точки $K_1$ и $K_2$ равноудалены от $M$, радиусы этих окружностей будут одинаковы.
3. Эти две окружности пересекутся в двух точках. Одна из них — это исходная точка $M$, а вторая — искомая точка $M'$.

Случай 2: Точка $M$ лежит на прямой $a$.

Если точка лежит на оси симметрии, то она отображается сама в себя. Следовательно, в этом случае точка $M'$ совпадает с точкой $M$.

Ответ: Искомая точка $M'$ строится путем последовательного выполнения двух этапов: сначала строится ось симметрии $a$ как серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, а затем относительно этой прямой строится точка, симметричная точке $M$.