Номер 385, страница 111 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

45. Осевая симметрия и её свойства. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 385, страница 111.

385 Могут ли точки А и А₁ быть симметричны относительно прямой p, если расстояния от этих точек до прямой p равны: а) 4 см и 6 см; б) 7 см и 7 см; в) 11,3 см и 11,4 см? Ответ обоснуйте.

По определению, две точки $A$ и $A_1$ являются симметричными относительно прямой $p$, если эта прямая является перпендикулярным биссектором отрезка $AA_1$. Это означает, что, во-первых, отрезок $AA_1$ должен быть перпендикулярен прямой $p$, и, во-вторых, точка пересечения прямой $p$ с отрезком $AA_1$ должна быть его серединой.

Из этого следует ключевое условие: расстояние от точки $A$ до прямой $p$ должно быть равно расстоянию от точки $A_1$ до прямой $p$. Если это условие не выполняется, точки не могут быть симметричными. Проверим каждый случай.

а) Расстояния от точек до прямой $p$ равны 4 см и 6 см.

Так как $4 \text{ см} \neq 6 \text{ см}$, расстояния от точек до прямой не равны. Следовательно, необходимое условие симметрии не выполняется, и точки $A$ и $A_1$ не могут быть симметричны относительно прямой $p$.

Ответ: нет.

б) Расстояния от точек до прямой $p$ равны 7 см и 7 см.

Так как $7 \text{ см} = 7 \text{ см}$, расстояния от точек до прямой равны. Это является необходимым условием для симметрии. Если точки $A$ и $A_1$ будут расположены на прямой, перпендикулярной $p$, по разные стороны от нее и на одинаковом расстоянии, то они будут симметричны. Так как такое расположение возможно, то ответ — да.

Ответ: да.

в) Расстояния от точек до прямой $p$ равны 11,3 см и 11,4 см.

Так как $11,3 \text{ см} \neq 11,4 \text{ см}$, расстояния от точек до прямой не равны. Следовательно, необходимое условие симметрии не выполняется, и точки $A$ и $A_1$ не могут быть симметричны относительно прямой $p$.

Ответ: нет.