Номер 387, страница 111 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

45. Осевая симметрия и её свойства. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 387, страница 111.

387 На рисунке 180, а точки А и А₁, В и В₁ симметричны относительно прямой p. Найдите длины отрезков АВ и А₁В₁, если АН=27,3см, В₁Н=7,8см.

а)

По определению осевой симметрии, если две точки симметричны относительно некоторой прямой (оси симметрии), то эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Это означает, что расстояние от любой из этих точек до оси симметрии равно расстоянию от другой точки до той же оси.

В условии задачи сказано, что точки $B$ и $B_1$ симметричны относительно прямой $p$. Прямая, на которой лежат точки $A, B, H, B_1, A_1$, перпендикулярна прямой $p$ и пересекает ее в точке $H$. Следовательно, расстояния от точек $B$ и $B_1$ до прямой $p$ равны. Расстояние от точки $B$ до прямой $p$ - это длина отрезка $BH$, а расстояние от точки $B_1$ до прямой $p$ - это длина отрезка $B_1H$.

Таким образом, мы можем записать равенство: $BH = B_1H$.

По условию нам дано, что $B_1H = 7,8$ см. Следовательно, $BH = 7,8$ см.

Из рисунка видно, что точка $B$ лежит на отрезке $AH$. Чтобы найти длину отрезка $AB$, нужно из длины большего отрезка $AH$ вычесть длину его части $BH$.

Выполним вычисление:

$AB = AH - BH = 27,3 \text{ см} - 7,8 \text{ см} = 19,5 \text{ см}$.

Далее, нам нужно найти длину отрезка $A_1B_1$. Осевая симметрия является движением, то есть преобразованием, которое сохраняет расстояния между точками. Поскольку точка $A$ при симметрии относительно прямой $p$ переходит в точку $A_1$, а точка $B$ — в точку $B_1$, то расстояние между исходными точками $A$ и $B$ будет равно расстоянию между их образами $A_1$ и $B_1$.

Следовательно, $A_1B_1 = AB$.

Так как мы уже нашли, что $AB = 19,5$ см, то и $A_1B_1 = 19,5$ см.

Ответ: $AB = 19,5$ см, $A_1B_1 = 19,5$ см.