Страница 105 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

363 Отметьте три точки, не лежащие на одной прямой, и постройте окружность, проходящую через эти точки.

Для построения окружности, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой, необходимо найти ее центр и радиус. Центр окружности — это точка, равноудаленная от всех трех заданных точек.

Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, которые не лежат на одной прямой. Они образуют вершины треугольника $ABC$. Окружность, проходящая через эти точки, называется описанной окружностью треугольника $ABC$.

Свойство серединного перпендикуляра к отрезку гласит, что любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов этого отрезка. Следовательно, центр окружности, равноудаленный от точек $A$, $B$ и $C$, должен лежать на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника $ABC$. Для нахождения центра достаточно построить два таких перпендикуляра.

Пошаговый алгоритм построения:

1. На плоскости отметьте три точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой.
2. С помощью линейки соедините точки, чтобы получить два отрезка, например, $AB$ и $BC$.
3. Построение серединного перпендикуляра к отрезку $AB$:
   • Установите раствор циркуля больше половины длины отрезка $AB$.
   • Поставьте острие циркуля в точку $A$ и проведите дугу.
   • Не меняя раствора циркуля, поставьте острие в точку $B$ и проведите вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух местах.
   • Через две точки пересечения дуг проведите прямую. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.
4. Построение серединного перпендикуляра к отрезку $BC$:
   • Аналогичным образом постройте серединный перпендикуляр к отрезку $BC$. Установите раствор циркуля больше половины длины $BC$ и проведите пересекающиеся дуги из точек $B$ и $C$.
   • Проведите прямую через точки пересечения этих дуг.
5. Нахождение центра и радиуса:
   • Точка пересечения двух построенных серединных перпендикуляров является центром $O$ искомой окружности. Эта точка равноудалена от точек $A$, $B$ и $C$, то есть $OA = OB = OC$.
   • Расстояние от центра $O$ до любой из трех точек ($A$, $B$ или $C$) является радиусом $R$ окружности.
6. Построение окружности:
   • Поставьте острие циркуля в найденный центр $O$.
   • Установите раствор циркуля равным радиусу $R=OA$ (или $OB$, или $OC$).
   • Проведите окружность. Она пройдет через все три точки $A$, $B$ и $C$.

Ответ: Для построения окружности по трем точкам, не лежащим на одной прямой, необходимо найти точку пересечения серединных перпендикуляров к двум отрезкам, соединяющим эти точки. Найденная точка будет центром окружности, а расстояние от нее до любой из заданных точек — радиусом. Построенная таким образом окружность будет единственной.

364 Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и остроугольный. Для каждого из них постройте описанную окружность. Как расположен центр окружности относительно треугольника в каждом случае?

Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Чтобы определить, как расположен центр окружности относительно треугольника, нужно рассмотреть три случая, в зависимости от вида треугольника.

Остроугольный треугольник

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые (то есть меньше $90^\circ$). Для построения центра описанной окружности необходимо провести серединные перпендикуляры к его сторонам. Серединный перпендикуляр — это прямая, перпендикулярная стороне и проходящая через её середину. В остроугольном треугольнике точка пересечения серединных перпендикуляров всегда находится внутри самого треугольника.

Ответ: центр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90^\circ$). Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой. Согласно свойству вписанных углов, прямой вписанный угол всегда опирается на диаметр окружности. Следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром его описанной окружности. Центр окружности, в свою очередь, является серединой диаметра. Таким образом, центр описанной окружности прямоугольного треугольника — это середина его гипотенузы.

Ответ: центр описанной окружности прямоугольного треугольника расположен на середине гипотенузы.

Тупоугольный треугольник

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов тупой (то есть больше $90^\circ$). Если построить серединные перпендикуляры к сторонам такого треугольника, то точка их пересечения будет находиться за пределами треугольника. Центр описанной окружности всегда лежит во внешней области по отношению к треугольнику, со стороны наибольшей стороны (которая лежит против тупого угла).

Ответ: центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.

365 Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и остроугольный. В каждый из них впишите окружность. Как расположен центр окружности относительно треугольника в каждом случае?

Чтобы вписать окружность в треугольник, необходимо найти ее центр. Центр вписанной в треугольник окружности — это точка пересечения его биссектрис. Эта точка называется инцентром, и она равноудалена от всех сторон треугольника. Рассмотрим ее расположение для каждого типа треугольника.

Тупоугольный треугольник

Начертим тупоугольный треугольник, то есть треугольник, у которого один из углов больше $90^\circ$. Для того чтобы вписать в него окружность, нужно найти центр этой окружности. Проведем биссектрисы всех трех внутренних углов треугольника. Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на две равные части. Все три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке. В тупоугольном треугольнике, как и в любом другом, эта точка пересечения всегда находится внутри треугольника.

Ответ: В тупоугольном треугольнике центр вписанной окружности расположен внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник

Начертим прямоугольный треугольник, один из углов которого равен $90^\circ$. Аналогично предыдущему случаю, проведем биссектрисы всех трех углов (прямого и двух острых). Точка их пересечения будет являться центром вписанной окружности. Для прямоугольного треугольника эта точка также всегда находится внутри него.

Ответ: В прямоугольном треугольнике центр вписанной окружности расположен внутри треугольника.

Остроугольный треугольник

Начертим остроугольный треугольник, у которого все три угла меньше $90^\circ$. Проведем биссектрисы его углов. Точка их пересечения — инцентр — будет центром вписанной окружности. В остроугольном треугольнике эта точка всегда находится внутри него.

Ответ: В остроугольном треугольнике центр вписанной окружности расположен внутри треугольника.

Вывод по задаче:

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис его внутренних углов. Так как биссектрисы углов треугольника всегда пересекаются внутри него, то и центр вписанной окружности для любого треугольника — тупоугольного, прямоугольного или остроугольного — всегда расположен внутри этого треугольника.

366 Докажите, что для равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$. По определению, в этом треугольнике все стороны равны ($AB = BC = CA$) и все углы равны $60^\circ$ ($ \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ $).

Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения его биссектрис. Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Для доказательства совпадения этих центров в равностороннем треугольнике достаточно показать, что каждая биссектриса в нем является также и серединным перпендикуляром.

Проведем биссектрису $AM$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$. В этих треугольниках сторона $AM$ — общая, $AB = AC$ как стороны равностороннего треугольника, а $ \angle BAM = \angle CAM = 30^\circ $, так как $AM$ — биссектриса угла $A$.

Следовательно, $\triangle ABM = \triangle ACM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что $BM = CM$ и $ \angle AMB = \angle AMC $.

Равенство $BM = CM$ означает, что $AM$ является медианой, то есть точка $M$ — середина стороны $BC$. Углы $\angle AMB$ и $\angle AMC$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$. Так как они равны, то каждый из них равен $90^\circ$. Это означает, что $AM$ является высотой, то есть $AM \perp BC$.

Таким образом, отрезок $AM$ одновременно является биссектрисой, медианой и высотой. Поскольку $AM$ проходит через середину стороны $BC$ и перпендикулярен ей, он является серединным перпендикуляром к стороне $BC$.

Аналогично можно доказать, что биссектрисы, проведенные из вершин $B$ и $C$, также являются серединными перпендикулярами к сторонам $AC$ и $AB$ соответственно.

Так как биссектрисы в равностороннем треугольнике совпадают с серединными перпендикулярами, то точка их пересечения является одной и той же. Эта точка и есть общий центр для вписанной и описанной окружностей. Что и требовалось доказать.

Ответ: В равностороннем треугольнике биссектрисы углов являются также серединными перпендикулярами к сторонам. Поскольку центр вписанной окружности есть точка пересечения биссектрис, а центр описанной окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров, то в равностороннем треугольнике эти центры совпадают.

367 Укажите, какие из треугольников, изображённых на рисунке 169, являются вписанными.

Согласно определению, треугольник является вписанным в окружность, если все три его вершины лежат на этой окружности. Проанализируем каждый из треугольников, изображенных на рисунке.

У треугольника $ABC$ все три вершины (точки $A$, $B$ и $C$) лежат на окружности. Следовательно, треугольник $ABC$ является вписанным.

У треугольника $EFG$ только две вершины ($E$ и $G$) лежат на окружности, а третья вершина $F$ находится внутри окружности, а не на ней. Поэтому треугольник $EFG$ не является вписанным.

У треугольника $NHU$ все три вершины ($N$, $H$ и $U$) находятся внутри окружности. Ни одна из его вершин не лежит на окружности, поэтому он также не является вписанным.

Таким образом, единственным вписанным треугольником на рисунке является $ABC$.

Ответ: треугольник $ABC$.

368 Укажите, какие из треугольников АВС, СED, LMN и CTS, изображённых на рисунке 170, являются описанными около окружности.

Описанным около окружности называется треугольник, все три стороны которого касаются этой окружности. Рассмотрим каждый из предложенных треугольников на соответствие этому определению.

Треугольник ABC: На рисунке видно, что все три стороны этого треугольника — AB, BC и AC — касаются окружности. Следовательно, треугольник ABC является описанным около данной окружности.

Треугольник CED: Стороны CE и CD лежат на прямых AC и BC, которые являются касательными к окружности. Однако третья сторона, ED, не является касательной, а является хордой окружности (она соединяет две точки на окружности и проходит внутри неё). Поскольку не все стороны треугольника касаются окружности, он не является описанным.

Треугольник LMN: Каждая из сторон этого треугольника — LM, MN и LN — пересекает окружность в двух точках. Такие прямые называются секущими. Ни одна из сторон треугольника LMN не является касательной, поэтому он не является описанным.

Треугольник CTS: Стороны CT и CS являются отрезками касательных BC и AC. Однако сторона TS, соединяющая точки касания T и S, является хордой окружности, а не касательной. Таким образом, треугольник CTS не является описанным.

Ответ: Описанным около окружности является треугольник ABC.