Номер 401, страница 114 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 401, страница 114.

401 Даны прямая а, точка А, лежащая на этой прямой, и точка В, не лежащая на ней. Постройте окружность, проходящую через точку В и касающуюся прямой а в точке А.

Для построения искомой окружности необходимо найти её центр и радиус. Обозначим центр окружности буквой $O$, а радиус — $R$.

Анализ и план построения

Исходя из условий задачи, центр $O$ искомой окружности должен удовлетворять двум геометрическим условиям:

1. Окружность касается прямой $a$ в точке $A$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус $OA$ должен быть перпендикулярен прямой $a$. Это означает, что центр окружности $O$ лежит на прямой $p$, проходящей через точку $A$ и перпендикулярной прямой $a$.

2. Окружность проходит через точки $A$ и $B$. Это значит, что расстояния от центра окружности $O$ до этих точек равны радиусу, то есть $OA = OB = R$. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек (в нашем случае $A$ и $B$), является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Следовательно, центр $O$ должен лежать на серединном перпендикуляре $m$ к отрезку $AB$.

Таким образом, чтобы найти центр $O$ искомой окружности, необходимо построить две прямые: перпендикуляр $p$ к прямой $a$ в точке $A$ и серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$. Точка их пересечения и будет являться искомым центром $O$. Поскольку точка $B$ не лежит на прямой $a$, отрезок $AB$ не параллелен прямой $p$, а значит, прямые $p$ и $m$ не параллельны и всегда пересекаются в одной-единственной точке. Это гарантирует существование и единственность решения.

Алгоритм построения

1. Соединить точки $A$ и $B$ отрезком.
2. С помощью циркуля и линейки построить прямую $p$, проходящую через точку $A$ и перпендикулярную прямой $a$.
3. С помощью циркуля и линейки построить серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$.
4. Найти точку пересечения прямых $p$ и $m$. Обозначить эту точку $O$. Это и есть центр искомой окружности.
5. Провести окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным длине отрезка $OA$.

Доказательство

Построенная окружность с центром $O$ и радиусом $R = OA$ является искомой, так как:

1. Она касается прямой $a$ в точке $A$, поскольку по построению центр $O$ лежит на прямой $p \perp a$, проходящей через $A$. Следовательно, радиус $OA$ перпендикулярен прямой $a$ в точке $A$.

2. Она проходит через точку $B$, поскольку по построению центр $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Следовательно, точка $O$ равноудалена от точек $A$ и $B$, то есть $OA = OB$. Так как радиус окружности равен $OA$, то и расстояние $OB$ равно радиусу, а значит, точка $B$ лежит на окружности.

Таким образом, построенная окружность удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомая окружность — это окружность, центр которой находится в точке пересечения перпендикуляра к прямой $a$, восстановленного в точке $A$, и серединного перпендикуляра к отрезку $AB$. Радиус этой окружности равен расстоянию от найденного центра до точки $A$.