Номер 412, страница 115 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметричные фигуры. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 412, страница 115.

412 Постройте оси симметрии двух пересекающихся прямых.

Решение:

Осью симметрии геометрической фигуры называется прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Фигура, состоящая из двух пересекающихся прямых, имеет две оси симметрии. Этими осями являются прямые, содержащие биссектрисы углов, образованных данными прямыми.

Пусть даны две прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $O$. При пересечении они образуют две пары равных вертикальных углов.

Для построения осей симметрии с помощью циркуля и линейки необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построить биссектрису одного из углов, образованных пересечением прямых $a$ и $b$. Назовем эту биссектрису $l_1$.
   • С центром в точке пересечения $O$ проведем окружность произвольного радиуса.
   • Точки пересечения этой окружности с прямыми $a$ и $b$ обозначим как $A$ и $B$ соответственно.
   • Из точек $A$ и $B$ проведем две дуги окружностей одинакового радиуса (радиус должен быть больше половины длины отрезка $AB$) так, чтобы они пересеклись в некоторой точке $M$.
   • Проведем прямую через точки $O$ и $M$. Эта прямая $l_1$ и есть биссектриса угла $\angle AOB$.
2. Прямая $l_1$ является первой осью симметрии. При осевой симметрии относительно прямой $l_1$ луч $OA$ отображается на луч $OB$, а луч, противоположный $OA$ (на прямой $a$), — на луч, противоположный $OB$ (на прямой $b$). Таким образом, прямая $a$ отображается на прямую $b$, и наоборот. Следовательно, вся фигура, состоящая из двух прямых, отображается на себя.
3. Аналогично построим биссектрису $l_2$ для угла, смежного с $\angle AOB$. Эта прямая будет второй осью симметрии.

Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Докажем это. Пусть один из смежных углов равен $2\alpha$, а другой — $2\beta$. Их сумма равна $180^\circ$: $2\alpha + 2\beta = 180^\circ$. Разделив обе части уравнения на 2, получим: $\alpha + \beta = 90^\circ$. Биссектрисы $l_1$ и $l_2$ делят эти углы пополам. Угол между биссектрисами как раз и будет равен $\alpha + \beta$. Таким образом, оси симметрии $l_1$ и $l_2$ перпендикулярны друг другу. Это означает, что после построения первой оси $l_1$ вторую ось $l_2$ можно построить как прямую, проходящую через точку $O$ и перпендикулярную $l_1$.

Ответ: Осями симметрии двух пересекающихся прямых являются две взаимно перпендикулярные прямые, которые являются биссектрисами углов, образованных данными прямыми.