Номер 419, страница 116 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 1 и 2. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 419, страница 116.

419 Точки С₁ и С₂ лежат по разные стороны от прямой AB и расположены так, что АС₁ = ВС₂ и ∠BAC₁ = ∠ABC₂. Докажите, что прямая С₁С₂ проходит через середину отрезка AB.

Пусть прямая $C_1C_2$ пересекает прямую $AB$ в точке $O$. Поскольку по условию точки $C_1$ и $C_2$ лежат по разные стороны от прямой $AB$, их соединяющая прямая обязательно пересечет прямую $AB$. Для доказательства утверждения задачи нам необходимо показать, что точка $O$ является серединой отрезка $AB$, то есть доказать равенство $AO = BO$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOC_1$ и $\triangle BOC_2$.

1. По условию задачи, стороны $AC_1$ и $BC_2$ равны: $AC_1 = BC_2$.

2. По условию задачи, углы $\angle BAC_1$ и $\angle ABC_2$ равны: $\angle BAC_1 = \angle ABC_2$. Так как точка $O$ лежит на прямой $AB$, эти углы можно записать как $\angle OAC_1 = \angle OBC_2$.

3. Углы $\angle AOC_1$ и $\angle BOC_2$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $AB$ и $C_1C_2$. Следовательно, они равны: $\angle AOC_1 = \angle BOC_2$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Поскольку в треугольниках $\triangle AOC_1$ и $\triangle BOC_2$ две пары углов соответственно равны ($\angle OAC_1 = \angle OBC_2$ и $\angle AOC_1 = \angle BOC_2$), то и их третьи углы также должны быть равны: $\angle AC_1O = \angle BC_2O$.

Теперь мы можем применить второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Для треугольника $\triangle AOC_1$ имеем сторону $AC_1$ и прилежащие к ней углы $\angle OAC_1$ и $\angle AC_1O$. Для треугольника $\triangle BOC_2$ имеем сторону $BC_2$ и прилежащие к ней углы $\angle OBC_2$ и $\angle BC_2O$. Так как $AC_1 = BC_2$, $\angle OAC_1 = \angle OBC_2$ и $\angle AC_1O = \angle BC_2O$, то треугольники $\triangle AOC_1$ и $\triangle BOC_2$ равны.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AO$ в треугольнике $\triangle AOC_1$ лежит напротив угла $\angle AC_1O$. Сторона $BO$ в треугольнике $\triangle BOC_2$ лежит напротив равного ему угла $\angle BC_2O$. Следовательно, стороны $AO$ и $BO$ являются соответствующими, а значит $AO = BO$.

Равенство $AO = BO$ означает, что точка $O$ является серединой отрезка $AB$. Так как $O$ — это точка пересечения прямой $C_1C_2$ с прямой $AB$, то мы доказали, что прямая $C_1C_2$ проходит через середину отрезка $AB$.

Ответ: Утверждение доказано.