Номер 425, страница 116 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Задачи повышенной трудности. Задачи к главам 3 и 4 - номер 425, страница 116.

Условие.

425 Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, исходящей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника. Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дан треугольник $ABC$ с углами $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$ и $\angle C = \gamma$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Через каждую вершину треугольника проведем прямую, перпендикулярную биссектрисе, исходящей из этой вершины. Рассмотрим вершину $A$. Пусть $l_A$ — биссектриса угла $\angle A$. Прямая $p_A$, проходящая через точку $A$ и перпендикулярная $l_A$, является биссектрисой внешнего угла при вершине $A$. Это следует из того, что биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Аналогично, прямые $p_B$ и $p_C$, проведенные через вершины $B$ и $C$, являются биссектрисами внешних углов при этих вершинах.

Эти три прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Обозначим точки их пересечения: $R = p_A \cap p_B$, $P = p_B \cap p_C$, $Q = p_C \cap p_A$.

Согласно условию, "отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника". Этими треугольниками являются $\triangle ABR$, $\triangle BCP$ и $\triangle CAQ$. Нам нужно доказать, что углы этих трех треугольников соответственно равны, то есть они имеют одинаковый набор углов.

Найдем углы треугольника $\triangle ABR$.

• Угол $\angle RAB$ — это угол между стороной $AB$ и прямой $p_A$. Так как $p_A$ — биссектриса внешнего угла при вершине $A$, который равен $180^\circ - \alpha$, то $\angle RAB = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.
• Угол $\angle RBA$ — это угол между стороной $AB$ и прямой $p_B$. Так как $p_B$ — биссектриса внешнего угла при вершине $B$, который равен $180^\circ - \beta$, то $\angle RBA = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$.
• Угол $\angle ARB$ найдем из суммы углов треугольника $\triangle ABR$:
  $\angle ARB = 180^\circ - \angle RAB - \angle RBA = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) - (90^\circ - \frac{\beta}{2}) = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2}$.
  Поскольку $\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$, получаем:
  $\angle ARB = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$.

Таким образом, углы треугольника $\triangle ABR$ равны $\{90^\circ - \frac{\alpha}{2}, 90^\circ - \frac{\beta}{2}, 90^\circ - \frac{\gamma}{2}\}$.

Проведем аналогичные вычисления для двух других треугольников.

Для треугольника $\triangle BCP$:

• $\angle PBC = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$ (угол между стороной $BC$ и внешней биссектрисой $p_B$).
• $\angle PCB = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$ (угол между стороной $BC$ и внешней биссектрисой $p_C$).
• $\angle BPC = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\beta}{2}) - (90^\circ - \frac{\gamma}{2}) = \frac{\beta + \gamma}{2} = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Углы треугольника $\triangle BCP$ равны $\{90^\circ - \frac{\beta}{2}, 90^\circ - \frac{\gamma}{2}, 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\}$.

Для треугольника $\triangle CAQ$:

• $\angle QCA = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$ (угол между стороной $AC$ и внешней биссектрисой $p_C$).
• $\angle QAC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ (угол между стороной $AC$ и внешней биссектрисой $p_A$).
• $\angle AQC = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\gamma}{2}) - (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \frac{\gamma + \alpha}{2} = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$.

Углы треугольника $\triangle CAQ$ равны $\{90^\circ - \frac{\gamma}{2}, 90^\circ - \frac{\alpha}{2}, 90^\circ - \frac{\beta}{2}\}$.

Мы видим, что все три образовавшихся треугольника ($\triangle ABR, \triangle BCP, \triangle CAQ$) имеют один и тот же набор углов: $\{90^\circ - \frac{\alpha}{2}, 90^\circ - \frac{\beta}{2}, 90^\circ - \frac{\gamma}{2}\}$. Следовательно, углы этих треугольников соответственно равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Углы каждого из трех образовавшихся треугольников равны $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$, $90^\circ - \frac{\beta}{2}$ и $90^\circ - \frac{\gamma}{2}$, где $\alpha, \beta, \gamma$ — углы исходного треугольника. Поскольку набор углов для всех трех треугольников одинаков, их углы соответственно равны.