Номер 425, страница 116 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 3 и 4. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 425, страница 116.

425 Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, исходящей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника. Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны.

Пусть дан треугольник $ABC$ с углами $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$ и $\angle C = \gamma$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Через каждую вершину треугольника проведем прямую, перпендикулярную биссектрисе, исходящей из этой вершины. Рассмотрим вершину $A$. Пусть $l_A$ — биссектриса угла $\angle A$. Прямая $p_A$, проходящая через точку $A$ и перпендикулярная $l_A$, является биссектрисой внешнего угла при вершине $A$. Это следует из того, что биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Аналогично, прямые $p_B$ и $p_C$, проведенные через вершины $B$ и $C$, являются биссектрисами внешних углов при этих вершинах.

Эти три прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Обозначим точки их пересечения: $R = p_A \cap p_B$, $P = p_B \cap p_C$, $Q = p_C \cap p_A$.

Согласно условию, "отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника". Этими треугольниками являются $\triangle ABR$, $\triangle BCP$ и $\triangle CAQ$. Нам нужно доказать, что углы этих трех треугольников соответственно равны, то есть они имеют одинаковый набор углов.

Найдем углы треугольника $\triangle ABR$.

• Угол $\angle RAB$ — это угол между стороной $AB$ и прямой $p_A$. Так как $p_A$ — биссектриса внешнего угла при вершине $A$, который равен $180^\circ - \alpha$, то $\angle RAB = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.
• Угол $\angle RBA$ — это угол между стороной $AB$ и прямой $p_B$. Так как $p_B$ — биссектриса внешнего угла при вершине $B$, который равен $180^\circ - \beta$, то $\angle RBA = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$.
• Угол $\angle ARB$ найдем из суммы углов треугольника $\triangle ABR$:
  $\angle ARB = 180^\circ - \angle RAB - \angle RBA = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) - (90^\circ - \frac{\beta}{2}) = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2}$.
  Поскольку $\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$, получаем:
  $\angle ARB = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$.

Таким образом, углы треугольника $\triangle ABR$ равны $\{90^\circ - \frac{\alpha}{2}, 90^\circ - \frac{\beta}{2}, 90^\circ - \frac{\gamma}{2}\}$.

Проведем аналогичные вычисления для двух других треугольников.

Для треугольника $\triangle BCP$:

• $\angle PBC = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$ (угол между стороной $BC$ и внешней биссектрисой $p_B$).
• $\angle PCB = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$ (угол между стороной $BC$ и внешней биссектрисой $p_C$).
• $\angle BPC = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\beta}{2}) - (90^\circ - \frac{\gamma}{2}) = \frac{\beta + \gamma}{2} = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Углы треугольника $\triangle BCP$ равны $\{90^\circ - \frac{\beta}{2}, 90^\circ - \frac{\gamma}{2}, 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\}$.

Для треугольника $\triangle CAQ$:

• $\angle QCA = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$ (угол между стороной $AC$ и внешней биссектрисой $p_C$).
• $\angle QAC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ (угол между стороной $AC$ и внешней биссектрисой $p_A$).
• $\angle AQC = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\gamma}{2}) - (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \frac{\gamma + \alpha}{2} = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$.

Углы треугольника $\triangle CAQ$ равны $\{90^\circ - \frac{\gamma}{2}, 90^\circ - \frac{\alpha}{2}, 90^\circ - \frac{\beta}{2}\}$.

Мы видим, что все три образовавшихся треугольника ($\triangle ABR, \triangle BCP, \triangle CAQ$) имеют один и тот же набор углов: $\{90^\circ - \frac{\alpha}{2}, 90^\circ - \frac{\beta}{2}, 90^\circ - \frac{\gamma}{2}\}$. Следовательно, углы этих треугольников соответственно равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Углы каждого из трех образовавшихся треугольников равны $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$, $90^\circ - \frac{\beta}{2}$ и $90^\circ - \frac{\gamma}{2}$, где $\alpha, \beta, \gamma$ — углы исходного треугольника. Поскольку набор углов для всех трех треугольников одинаков, их углы соответственно равны.