Номер 431, страница 117 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 3 и 4. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 431, страница 117.

431 Внутри треугольника ABC взята такая точка D, что AD = AB. Докажите, что АС > AB.

Для доказательства утверждения $AC > AB$ в треугольнике $ABC$ достаточно доказать, что противолежащий стороне $AC$ угол $\angle ABC$ больше противолежащего стороне $AB$ угла $\angle ACB$.

Продолжим отрезок $AD$ до пересечения со стороной $BC$ в точке $E$. Так как точка $D$ лежит внутри треугольника, точка $E$ будет находиться между $B$ и $C$.

Рассмотрим треугольник $ABE$. Точка $D$ лежит на отрезке $AE$, поэтому длина отрезка $AE$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DE$, то есть $AE = AD + DE$. Отсюда следует, что $AE > AD$. По условию задачи дано, что $AD = AB$. Следовательно, $AE > AB$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, поэтому в треугольнике $ABE$ угол, лежащий напротив стороны $AE$ (то есть $\angle ABE$), больше угла, лежащего напротив стороны $AB$ (то есть $\angle AEB$). Учитывая, что $\angle ABE$ — это тот же угол, что и $\angle ABC$, получаем:

$\angle ABC > \angle AEB$ (1)

Теперь рассмотрим треугольник $AEC$. Угол $\angle AEB$ является для него внешним углом при вершине $E$ (так как он смежен с внутренним углом $\angle AEC$ и образован стороной $AE$ и продолжением стороны $CE$). Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. В частности, $\angle AEB > \angle ACE$. Угол $\angle ACE$ — это тот же угол, что и $\angle ACB$. Таким образом:

$\angle AEB > \angle ACB$ (2)

Объединяя неравенства (1) и (2), получаем следующую цепочку неравенств: $\angle ABC > \angle AEB$ и $\angle AEB > \angle ACB$. Из этого следует, что $\angle ABC > \angle ACB$.

Так как в треугольнике $ABC$ угол при вершине $B$ больше угла при вершине $C$, то и сторона, лежащая напротив большего угла, больше стороны, лежащей напротив меньшего угла. Следовательно, $AC > AB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку в треугольнике $ABC$ выполняется неравенство для углов $\angle ABC > \angle ACB$, для противолежащих им сторон также выполняется неравенство $AC > AB$.