Номер 429, страница 117 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 3 и 4. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 429, страница 117.

429 Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон $BC$, $AC$ и $AB$ как $a$, $b$ и $c$ соответственно. Пусть $c_{max}$ — длина наибольшей из сторон, то есть $c_{max} = \max(a, b, c)$.

Рассмотрим произвольный отрезок $MN$, концы которого лежат на разных сторонах треугольника $ABC$. Нам нужно доказать, что длина отрезка $MN$ не превышает $c_{max}$, то есть $MN \le c_{max}$.

Поскольку концы отрезка $MN$ лежат на разных сторонах, они могут лежать на сторонах, имеющих общую вершину. В треугольнике любые две различные стороны имеют общую вершину. Без ограничения общности, пусть конец $M$ отрезка $MN$ лежит на стороне $AB$, а конец $N$ — на стороне $AC$. Стороны $AB$ и $AC$ имеют общую вершину $A$. Рассмотрение других пар сторон (например, $AB$ и $BC$, или $AC$ и $BC$) будет полностью аналогичным.

Зафиксируем положение точки $M$ на стороне $AB$. Теперь найдем, при каком положении точки $N$ на стороне $AC$ длина отрезка $MN$ будет максимальной. Расстояние от фиксированной точки ($M$) до точки, движущейся по отрезку ($AC$), является выпуклой функцией. Своего максимума на отрезке такая функция достигает на одном из его концов. В нашем случае концами отрезка $AC$ являются вершины $A$ и $C$.

Следовательно, для любого фиксированного положения точки $M$ на стороне $AB$, максимальная длина отрезка $MN$ (где $N \in AC$) будет равна наибольшему из двух значений: $MA$ или $MC$. Таким образом, для любых точек $M \in AB$ и $N \in AC$ справедливо неравенство: $$MN \le \max(MA, MC)$$

Теперь нам нужно найти максимальное значение величины $\max(MA, MC)$, когда точка $M$ перемещается по всей стороне $AB$. Это максимальное значение будет равно $\max(\max_{M \in AB} MA, \max_{M \in AB} MC)$.

1. Найдем максимум длины $MA$ при $M \in AB$. Расстояние от точки $A$ до точки $M$ на отрезке $AB$ максимально, когда $M$ совпадает с другим концом отрезка, то есть с точкой $B$. Таким образом, $\max_{M \in AB} MA = AB = c$.

2. Найдем максимум длины $MC$ при $M \in AB$. Аналогично, расстояние от точки $C$ до точки $M$, движущейся по отрезку $AB$, достигает своего максимума на одном из концов этого отрезка, то есть в точке $A$ или $B$. Таким образом, $\max_{M \in AB} MC = \max(CA, CB) = \max(b, a)$.

Объединяя эти результаты, мы находим максимально возможную длину для отрезка $MN$: $$\max_{M \in AB, N \in AC} MN = \max(\max_{M \in AB} MA, \max_{M \in AB} MC) = \max(c, \max(b, a)) = \max(a, b, c) = c_{max}$$

Это означает, что длина любого отрезка с концами на сторонах $AB$ и $AC$ не может быть больше длины наибольшей стороны треугольника $ABC$. Так как наш выбор пары сторон был произвольным, это утверждение справедливо для любой пары различных сторон.

Таким образом, мы доказали, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Длина любого отрезка с концами на разных сторонах треугольника не превышает длины наибольшей из сторон этого треугольника.