Номер 430, страница 117 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 3 и 4. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 430, страница 117.

430 Отрезок ВВ₁ — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что ВА > В₁A и BС > В₁С.

Задача состоит в доказательстве двух неравенств. Докажем каждое из них по отдельности.

$BA > B_1A$

Рассмотрим треугольник $ABB_1$. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона. Чтобы доказать, что сторона $BA$ больше стороны $B_1A$, нам необходимо доказать, что угол, лежащий напротив стороны $BA$, больше угла, лежащего напротив стороны $B_1A$.

В треугольнике $ABB_1$ стороне $BA$ противолежит угол $\angle BB_1A$. Стороне $B_1A$ противолежит угол $\angle ABB_1$. Таким образом, нам нужно доказать, что $\angle BB_1A > \angle ABB_1$.

Угол $\angle BB_1A$ является внешним для треугольника $B_1BC$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle BB_1A = \angle CBB_1 + \angle BCB_1 = \angle CBB_1 + \angle C$.

По условию, отрезок $BB_1$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, а это значит, что он делит угол пополам:

$\angle ABB_1 = \angle CBB_1$.

Подставим $\angle ABB_1$ вместо равного ему $\angle CBB_1$ в формулу для внешнего угла:

$\angle BB_1A = \angle ABB_1 + \angle C$.

Поскольку $\angle C$ является углом треугольника $ABC$, его градусная мера положительна ($\angle C > 0$). Следовательно, сумма $\angle ABB_1 + \angle C$ строго больше, чем слагаемое $\angle ABB_1$.

Отсюда получаем, что $\angle BB_1A > \angle ABB_1$.

Так как в треугольнике $ABB_1$ против большего угла $\angle BB_1A$ лежит большая сторона $BA$, мы заключаем, что $BA > B_1A$.

Ответ: Неравенство $BA > B_1A$ доказано.

$BC > B_1C$

Теперь рассмотрим треугольник $CBB_1$. По той же теореме о соотношении сторон и углов треугольника, для доказательства неравенства $BC > B_1C$ нам нужно доказать, что угол напротив стороны $BC$ больше угла напротив стороны $B_1C$.

В треугольнике $CBB_1$ стороне $BC$ противолежит угол $\angle BB_1C$. Стороне $B_1C$ противолежит угол $\angle CBB_1$. Таким образом, задача сводится к доказательству неравенства $\angle BB_1C > \angle CBB_1$.

Угол $\angle BB_1C$ является внешним для треугольника $ABB_1$. Его величина равна сумме двух внутренних углов треугольника $ABB_1$, не смежных с ним:

$\angle BB_1C = \angle BAB_1 + \angle ABB_1 = \angle A + \angle ABB_1$.

Из того, что $BB_1$ — биссектриса, мы знаем, что $\angle ABB_1 = \angle CBB_1$.

Подставим это в выражение для внешнего угла, чтобы связать его с углом $\angle CBB_1$:

$\angle BB_1C = \angle A + \angle CBB_1$.

Поскольку $\angle A$ является углом треугольника $ABC$, его градусная мера положительна ($\angle A > 0$). Следовательно, сумма $\angle A + \angle CBB_1$ строго больше, чем слагаемое $\angle CBB_1$.

Отсюда получаем, что $\angle BB_1C > \angle CBB_1$.

Так как в треугольнике $CBB_1$ против большего угла $\angle BB_1C$ лежит большая сторона $BC$, мы заключаем, что $BC > B_1C$.

Ответ: Неравенство $BC > B_1C$ доказано.