Номер 434, страница 117 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 3 и 4. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 434, страница 117.

434 Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите, что медиана, проведённая из их общей вершины, составляет с меньшей из сторон больший угол.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором стороны $AB$ и $AC$ не равны. Без ограничения общности, предположим, что сторона $AC$ меньше стороны $AB$, то есть $AC < AB$. Пусть $AM$ — медиана, проведённая из вершины $A$ к стороне $BC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой отрезка $BC$, следовательно, $BM = CM$.

Требуется доказать, что угол, образованный медианой $AM$ и меньшей стороной $AC$ (угол $\angle CAM$), больше угла, образованного медианой $AM$ и большей стороной $AB$ (угол $\angle BAM$). То есть, мы доказываем неравенство $\angle CAM > \angle BAM$.

Для доказательства воспользуемся методом дополнительного построения. Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на её длину до точки $D$ так, что $AM = MD$. Затем соединим точку $D$ с вершинами $B$ и $C$. В результате этого построения получим четырёхугольник $ABDC$.

Рассмотрим диагонали $AD$ и $BC$ полученного четырёхугольника $ABDC$. Они пересекаются в точке $M$. По построению мы имеем $AM = MD$, а по определению медианы — $BM = CM$. Таким образом, диагонали четырёхугольника $ABDC$ в точке их пересечения делятся пополам.

Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно, $ABDC$ — это параллелограмм.

Из свойств параллелограмма известно, что его противоположные стороны равны и параллельны. Отсюда следует, что $CD = AB$ и $AB \parallel CD$.

Теперь переключим внимание на треугольник $ACD$. Его стороны — это $AC$, $CD$ и $AD$. Наша задача — сравнить углы $\angle CAM$ и $\angle BAM$. Угол $\angle CAM$ является углом $\angle CAD$ в треугольнике $ACD$.

Поскольку прямые $AB$ и $CD$ параллельны, а $AD$ является секущей, то накрест лежащие углы равны: $\angle BAM = \angle CDA$.

Таким образом, сравнение углов $\angle CAM$ и $\angle BAM$ эквивалентно сравнению углов $\angle CAD$ и $\angle CDA$ внутри треугольника $ACD$.

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. Сравним стороны в треугольнике $ACD$, которые лежат напротив углов $\angle CAD$ и $\angle CDA$.

• Против угла $\angle CAD$ лежит сторона $CD$.
• Против угла $\angle CDA$ лежит сторона $AC$.

По нашему первоначальному предположению, $AC < AB$. А так как из свойств параллелограмма мы получили $CD = AB$, то справедливо неравенство $AC < CD$.

Так как в треугольнике $ACD$ сторона $AC$ меньше стороны $CD$, то и угол, лежащий против стороны $AC$, меньше угла, лежащего против стороны $CD$. Это означает, что $\angle CDA < \angle CAD$.

Подставляя обратно исходные обозначения углов ($\angle CDA = \angle BAM$ и $\angle CAD = \angle CAM$), получаем требуемое неравенство:

$\angle BAM < \angle CAM$.

Это доказывает, что медиана, проведённая из общей вершины двух неравных сторон, образует с меньшей из сторон больший угол.

Ответ: Утверждение доказано. Медиана, проведённая из общей вершины двух неравных сторон треугольника, составляет с меньшей из этих сторон больший угол.