Номер 439, страница 117 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 3 и 4. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 439, страница 117.

439 Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором угол C — прямой ($?C = 90°$), катеты AC и BC не равны ($AC \neq BC$). Проведём из вершины C высоту CH, медиану CM и биссектрису CL. Нам нужно доказать, что биссектриса CL делит угол HCM пополам, то есть $?HCL = ?LCM$.

1. Найдём величину угла ACH.
Пусть острые углы треугольника ABC равны $?A = ?$ и $?B = ?$. Так как сумма углов треугольника равна $180°$, то $? + ? + 90° = 180°$, откуда $? + ? = 90°$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH (CH — высота, следовательно $?CHA = 90°$). В нём $?HAC = ?A = ?$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90°$, поэтому $?ACH = 90° - ?HAC = 90° - ?$.
Так как $? + ? = 90°$, то $? = 90° - ?$. Следовательно, $?ACH = ?$.

2. Найдём величину угла ACM.
CM — медиана, проведённая к гипотенузе AB. По свойству медианы в прямоугольном треугольнике, она равна половине гипотенузы: $CM = AM = BM = \frac{1}{2}AB$.
Рассмотрим треугольник AMC. Так как $CM = AM$, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $?ACM = ?MAC = ?A = ?$.

3. Найдём величину угла ACL.
CL — биссектриса прямого угла C. По определению биссектрисы, она делит угол пополам: $?ACL = ?BCL = \frac{90°}{2} = 45°$.

4. Сравним углы HCL и LCM.
Поскольку катеты не равны ($AC \neq BC$), то и прилежащие к ним острые углы не равны ($? \neq ?$). Допустим, для определённости, что $AC < BC$. Тогда, напротив меньшей стороны лежит меньший угол, то есть $?B < ?A$, или $? < ?$.
Так как $? + ? = 90°$ и $? > ?$, то $? > 45°$ и $? < 45°$.
Теперь мы можем найти углы $?HCL$ и $?LCM$.
Угол между высотой и биссектрисой: $?HCL = ?ACL - ?ACH = 45° - ?$.
Угол между медианой и биссектрисой: $?LCM = ?ACM - ?ACL = ? - 45°$.
Нам нужно доказать, что $?HCL = ?LCM$, то есть $45° - ? = ? - 45°$.
Перенесём члены уравнения: $45° + 45° = ? + ?$, что даёт $90° = ? + ?$.
Это равенство является верным, так как $?$ и $?$ — острые углы прямоугольного треугольника.

Таким образом, мы доказали, что $?HCL = ?LCM$, а значит, биссектриса прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины.

Ответ: Что и требовалось доказать.