Номер 443, страница 119 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Задачи к главам 3 и 4. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 443, страница 119.
№443 (с. 119)
Условие. №443 (с. 119)
скриншот условия

443 Постройте прямоугольный треугольник ABC, если даны острый угол В и биссектриса BD.
Решение 2. №443 (с. 119)

Решение 3. №443 (с. 119)

Решение 4. №443 (с. 119)

Решение 6. №443 (с. 119)


Решение 9. №443 (с. 119)

Решение 11. №443 (с. 119)
Анализ
Предположим, что искомый прямоугольный треугольник $ABC$ построен. Пусть для определённости прямой угол находится при вершине $C$, то есть $\angle C = 90^\circ$. По условию, нам даны острый угол $\angle B$ и биссектриса $BD$. Так как $BD$ — биссектриса, она делит угол $\angle B$ пополам, следовательно, $\angle DBC = \frac{1}{2}\angle B$. Рассмотрим треугольник $BDC$. В нём известны: угол $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $BD$ (её длина дана) и острый угол $\angle DBC$. Таким образом, мы можем построить треугольник $BDC$ по гипотенузе и острому углу. После его построения мы получаем точки $B$, $D$, $C$. Вершина $A$ искомого треугольника $ABC$ должна лежать на прямой, проходящей через точки $D$ и $C$, а также на луче, который образует с лучом $BC$ угол, равный данному углу $\angle B$.
Построение
Пусть нам даны отрезок, равный по длине биссектрисе $BD$, и угол, равный $\angle B$. Построение выполняется в следующей последовательности. Сначала строим угол, равный данному $\angle B$, с вершиной в точке $B$. Затем проводим его биссектрису и откладываем на ней отрезок $BD$ заданной длины. Из полученной точки $D$ опускаем перпендикуляр на одну из сторон угла $\angle B$ (пусть это будет сторона $BC$). Точку пересечения (основание перпендикуляра) обозначаем $C$. Прямая, проходящая через точки $C$ и $D$, пересекает вторую сторону угла $\angle B$ (сторону $BA$) в точке $A$. Соединив вершины, получаем искомый треугольник $ABC$.
Доказательство
В построенном треугольнике $ABC$ угол $\angle B$ равен данному углу по построению. Луч $BD$ является его биссектрисой по построению, и отрезок $BD$ имеет заданную длину. Так как мы опустили перпендикуляр из точки $D$ на прямую $BC$, то угол $\angle C$ прямой ($\angle C = 90^\circ$). Вершины $A$, $B$ и $C$ лежат на своих местах согласно анализу. Следовательно, построенный треугольник $ABC$ является прямоугольным и удовлетворяет всем условиям задачи.
Исследование
Задача всегда имеет решение, так как данный угол $\angle B$ — острый. Это означает, что его половина, $\angle DBC = \frac{1}{2}\angle B$, также является острым углом. При построении перпендикуляра из точки $D$ на луч $BC$ основание $C$ всегда будет лежать на этом луче. Прямая $CD$ пересечет луч $BA$ в некоторой точке $A$, так как лучи $BA$ и $BC$ не параллельны. Угол $\angle A$ в полученном треугольнике $ABC$ будет равен $90^\circ - \angle B$. Так как $\angle B$ — острый, угол $\angle A$ также будет острым, что гарантирует существование точки $A$ на луче $BA$. Стоит отметить, что при построении мы могли опустить перпендикуляр из точки $D$ на другую сторону угла, $BA$. В этом случае мы бы получили вершину $A$ с прямым углом ($\angle A = 90^\circ$), а вершина $C$ была бы найдена на пересечении прямой $AD$ со стороной $BC$. Это дало бы второе решение задачи. Таким образом, задача имеет два решения: одно с прямым углом при вершине $C$, другое — при вершине $A$.
Ответ: Искомый треугольник $ABC$ строится по алгоритму, описанному в разделе "Построение". В зависимости от того, на какую из сторон угла $B$ опускается перпендикуляр из точки $D$, получается один из двух возможных треугольников: с прямым углом $C$ или с прямым углом $A$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 443 расположенного на странице 119 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №443 (с. 119), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.