Номер 450, страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 5. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 450, страница 120.

450 На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?

На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых.

Для решения этой задачи необходимо найти точки, которые одновременно принадлежат данной окружности и множеству точек, равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых.

1. Анализ.

Геометрическое место точек (ГМТ), равноудалённых от двух пересекающихся прямых, — это пара взаимно перпендикулярных прямых, являющихся биссектрисами углов, образованных данными прямыми. Пусть даны пересекающиеся прямые $l_1$ и $l_2$. Множество всех точек, равноудалённых от них, — это биссектрисы $b_1$ и $b_2$ четырёх образовавшихся углов.

Искомая точка должна удовлетворять двум условиям:

• принадлежать данной окружности;
• принадлежать одной из биссектрис $b_1$ или $b_2$.

Следовательно, искомые точки — это точки пересечения данной окружности с биссектрисами $b_1$ и $b_2$.

2. Построение.

1. Пусть дана окружность $\omega$ и две пересекающиеся в точке $O$ прямые $l_1$ и $l_2$.
2. Построим биссектрисы углов, образованных прямыми $l_1$ и $l_2$. Для этого можно провести окружность произвольного радиуса с центром в точке $O$ и, используя полученные точки пересечения с прямыми $l_1$ и $l_2$, построить биссектрисы $b_1$ и $b_2$.
3. Найдём точки пересечения прямых $b_1$ и $b_2$ с данной окружностью $\omega$.

Полученные точки пересечения и будут искомыми, так как они лежат на окружности $\omega$ по условию и равноудалены от прямых $l_1$ и $l_2$, так как лежат на их биссектрисах.

Ответ: Искомые точки являются точками пересечения данной окружности и биссектрис углов, образованных данными пересекающимися прямыми.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи определяется количеством точек пересечения данной окружности $\omega$ с двумя прямыми — биссектрисами $b_1$ и $b_2$.

Одна прямая может пересекать окружность в двух точках, касаться её в одной точке или не иметь с ней общих точек. Поскольку у нас две прямые ($b_1$ и $b_2$), то возможное количество решений — это сумма точек пересечения окружности с каждой из этих прямых.

Проанализируем все возможные случаи в зависимости от взаимного расположения окружности и биссектрис $b_1$ и $b_2$. Пусть $R$ — радиус окружности, $C$ — её центр, $d_1$ и $d_2$ — расстояния от центра $C$ до прямых $b_1$ и $b_2$ соответственно.

• 0 решений: окружность не имеет общих точек ни с одной из биссектрис (когда $d_1 > R$ и $d_2 > R$).
• 1 решение: окружность касается одной из биссектрис и не пересекает другую (когда $d_1 = R$ и $d_2 > R$, или $d_2 = R$ и $d_1 > R$).
• 2 решения: окружность пересекает одну биссектрису в двух точках, а другую не пересекает (когда $d_1 < R$ и $d_2 > R$, или наоборот), либо окружность касается обеих биссектрис (когда $d_1 = R$ и $d_2 = R$).
• 3 решения: окружность касается одной биссектрисы и пересекает другую в двух точках (когда $d_1 = R$ и $d_2 < R$, или наоборот).
• 4 решения: окружность пересекает каждую из двух биссектрис в двух точках (когда $d_1 < R$ и $d_2 < R$).

Таким образом, количество решений зависит от радиуса окружности и её расположения относительно точки пересечения данных прямых.

Ответ: Задача может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения.