Номер 449, страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 5 - номер 449, страница 120.

Условие.

449 Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли задача имеет решение?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 11.

Через три данные точки проведите окружность.
Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$. Центр искомой окружности, точка $O$, должен быть равноудален от всех трех точек, то есть $OA = OB = OC$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (например, $A$ и $B$), есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки ($AB$).

Следовательно, центр окружности $O$ должен удовлетворять двум условиям:
1. Он лежит на серединном перпендикуляре $m$ к отрезку $AB$.
2. Он лежит на серединном перпендикуляре $n$ к отрезку $BC$.

Таким образом, центр окружности $O$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров $m$ и $n$. Радиусом окружности будет расстояние от центра $O$ до любой из данных точек (например, $R = OA$).

Алгоритм построения:
1. Соединить точки $A$ и $B$ отрезком.
2. Построить серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$.
3. Соединить точки $B$ и $C$ отрезком.
4. Построить серединный перпендикуляр $n$ к отрезку $BC$.
5. Найти точку пересечения $O$ прямых $m$ и $n$. Эта точка будет центром искомой окружности.
6. Провести окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным длине отрезка $OA$ (или $OB$, или $OC$).

Ответ: Чтобы провести окружность через три данные точки $A$, $B$ и $C$, нужно найти точку пересечения $O$ серединных перпендикуляров к отрезкам $AB$ и $BC$. Эта точка будет центром окружности, а радиус будет равен расстоянию $OA$.

Всегда ли задача имеет решение?
Решение задачи, описанное выше, зависит от существования единственной точки пересечения серединных перпендикуляров $m$ и $n$. Рассмотрим два случая расположения точек $A$, $B$ и $C$.

Случай 1: Точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой.
В этом случае точки образуют треугольник $ABC$. Серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$ не параллельны (так как прямые $AB$ и $BC$ не параллельны и не совпадают), а значит, пересекаются в одной-единственной точке $O$. Эта точка и будет центром единственной окружности, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$. Таким образом, задача имеет единственное решение.

Случай 2: Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.
В этом случае прямые, содержащие отрезки $AB$ и $BC$, совпадают. Серединные перпендикуляры $m$ и $n$ к отрезкам $AB$ и $BC$ будут оба перпендикулярны этой одной прямой, а значит, они будут параллельны между собой. Две параллельные прямые либо не пересекаются, либо совпадают, но они не могут пересечься в одной точке. Следовательно, не существует точки $O$, равноудаленной от всех трех точек. Также можно отметить, что по определению окружность может пересекать прямую не более чем в двух точках, поэтому она не может пройти через три точки, лежащие на одной прямой. В этом случае задача не имеет решения.

Ответ: Задача имеет решение тогда и только тогда, когда три данные точки не лежат на одной прямой. Если точки лежат на одной прямой, провести через них окружность невозможно.