Номер 449, страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 5. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 449, страница 120.

449 Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли задача имеет решение?

Через три данные точки проведите окружность.
Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$. Центр искомой окружности, точка $O$, должен быть равноудален от всех трех точек, то есть $OA = OB = OC$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (например, $A$ и $B$), есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки ($AB$).

Следовательно, центр окружности $O$ должен удовлетворять двум условиям:
1. Он лежит на серединном перпендикуляре $m$ к отрезку $AB$.
2. Он лежит на серединном перпендикуляре $n$ к отрезку $BC$.

Таким образом, центр окружности $O$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров $m$ и $n$. Радиусом окружности будет расстояние от центра $O$ до любой из данных точек (например, $R = OA$).

Алгоритм построения:
1. Соединить точки $A$ и $B$ отрезком.
2. Построить серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$.
3. Соединить точки $B$ и $C$ отрезком.
4. Построить серединный перпендикуляр $n$ к отрезку $BC$.
5. Найти точку пересечения $O$ прямых $m$ и $n$. Эта точка будет центром искомой окружности.
6. Провести окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным длине отрезка $OA$ (или $OB$, или $OC$).

Ответ: Чтобы провести окружность через три данные точки $A$, $B$ и $C$, нужно найти точку пересечения $O$ серединных перпендикуляров к отрезкам $AB$ и $BC$. Эта точка будет центром окружности, а радиус будет равен расстоянию $OA$.

Всегда ли задача имеет решение?
Решение задачи, описанное выше, зависит от существования единственной точки пересечения серединных перпендикуляров $m$ и $n$. Рассмотрим два случая расположения точек $A$, $B$ и $C$.

Случай 1: Точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой.
В этом случае точки образуют треугольник $ABC$. Серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$ не параллельны (так как прямые $AB$ и $BC$ не параллельны и не совпадают), а значит, пересекаются в одной-единственной точке $O$. Эта точка и будет центром единственной окружности, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$. Таким образом, задача имеет единственное решение.

Случай 2: Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.
В этом случае прямые, содержащие отрезки $AB$ и $BC$, совпадают. Серединные перпендикуляры $m$ и $n$ к отрезкам $AB$ и $BC$ будут оба перпендикулярны этой одной прямой, а значит, они будут параллельны между собой. Две параллельные прямые либо не пересекаются, либо совпадают, но они не могут пересечься в одной точке. Следовательно, не существует точки $O$, равноудаленной от всех трех точек. Также можно отметить, что по определению окружность может пересекать прямую не более чем в двух точках, поэтому она не может пройти через три точки, лежащие на одной прямой. В этом случае задача не имеет решения.

Ответ: Задача имеет решение тогда и только тогда, когда три данные точки не лежат на одной прямой. Если точки лежат на одной прямой, провести через них окружность невозможно.