Номер 456, страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 5. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 456, страница 120.

456 Даны прямая m, точка A на прямой m и точка B, не лежащая на этой прямой. Постройте окружность, проходящую через точку B и касающуюся прямой m в точке A.

Для построения искомой окружности необходимо найти её центр и радиус. Обозначим центр окружности буквой O, а радиус — R.

Анализ задачи

1. По условию, окружность касается прямой m в точке A. Согласно свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, центр окружности O должен лежать на прямой p, которая проходит через точку A и перпендикулярна прямой m.

2. Окружность также проходит через точку B. Поскольку точка A (точка касания) тоже лежит на окружности, то расстояния от центра O до точек A и B равны радиусу: $OA = OB = R$.

3. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек (в нашем случае A и B), представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Обозначим этот серединный перпендикуляр как s.

Таким образом, центр искомой окружности O является точкой пересечения двух прямых: перпендикуляра p к прямой m в точке A и серединного перпендикуляра s к отрезку AB.

Алгоритм построения

1. Построить прямую p, проходящую через точку A перпендикулярно прямой m.
2. Соединить точки A и B отрезком.
3. Построить серединный перпендикуляр s к отрезку AB.
4. Найти точку пересечения прямых p и s. Это и есть искомый центр O.
5. Установить ножку циркуля в точку O, а грифель — в точку A. Полученный радиус $R=OA$.
6. Построить окружность с центром O и радиусом R.

Доказательство

Построенная окружность удовлетворяет всем условиям задачи.
- Она касается прямой m в точке A, так как по построению её центр O лежит на прямой p, перпендикулярной m в точке A, и $OA$ является радиусом.
- Она проходит через точку B, так как её центр O по построению лежит на серединном перпендикуляре s к отрезку AB, что гарантирует равенство расстояний $OA = OB$. Поскольку радиус окружности равен OA, точка B также лежит на этой окружности.

Ответ: Центр искомой окружности является точкой пересечения перпендикуляра к прямой m, восставленного в точке A, и серединного перпендикуляра к отрезку AB. Радиус окружности равен расстоянию от найденного центра до точки A.