Номер 460, страница 120 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 5. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 460, страница 120.

460 Дан прямоугольный треугольник. Постройте окружность с центром на одном из катетов, которая касается гипотенузы и проходит через вершину прямого угла треугольника.

Для решения задачи сначала проведем анализ, чтобы определить геометрическое место точек, в котором может находиться центр искомой окружности. Затем на основе этого анализа выполним построение и докажем его правильность.

Анализ задачи и план построения

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты треугольника — $AC$ и $BC$, гипотенуза — $AB$.

Согласно условию, необходимо построить окружность, которая удовлетворяет трем требованиям:

1. Центр окружности, обозначим его $O$, лежит на одном из катетов. Для определенности, выберем катет $AC$. Таким образом, точка $O$ принадлежит отрезку $AC$ ($O \in AC$).
2. Окружность проходит через вершину прямого угла, то есть через точку $C$. Это означает, что радиус окружности $R$ равен расстоянию от центра $O$ до точки $C$. Поскольку точка $O$ лежит на прямой $AC$, радиус равен длине отрезка $OC$: $R = OC$.
3. Окружность касается гипотенузы $AB$. Это означает, что расстояние от центра $O$ до прямой $AB$ равно радиусу $R$. Если опустить перпендикуляр из точки $O$ на гипотенузу $AB$ и обозначить его основание как $T$, то длина этого перпендикуляра $OT$ должна быть равна радиусу: $OT = R$.

Из второго и третьего пунктов следует, что $OC = OT$.

Теперь рассмотрим, что означает это равенство. Расстояние от точки $O$, лежащей на катете $AC$, до второго катета $BC$ равно длине отрезка $OC$, так как $AC \perp BC$. Условие $OC = OT$ означает, что точка $O$ равноудалена от прямых $BC$ и $AB$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, является биссектрисой угла, образованного этими прямыми. В нашем случае это биссектриса угла $\angle ABC$.

Таким образом, центр искомой окружности $O$ является точкой, которая одновременно удовлетворяет двум условиям:

• Принадлежит катету $AC$.
• Принадлежит биссектрисе угла $\angle ABC$.

Следовательно, точка $O$ — это точка пересечения катета $AC$ и биссектрисы угла $\angle ABC$. Эта точка единственна, и ее можно построить с помощью циркуля и линейки.

Пошаговое построение

1. Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$.
2. Строим биссектрису угла $\angle ABC$. Для этого:
   • Из вершины $B$ как из центра проводим дугу окружности произвольного радиуса, которая пересекает стороны $BA$ и $BC$ в точках, которые мы можем обозначить как $M$ и $N$.
   • Из точек $M$ и $N$ как из центров проводим две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина длины дуги $MN$) так, чтобы они пересеклись внутри угла. Обозначим точку их пересечения $K$.
   • Проводим луч $BK$. Этот луч является биссектрисой угла $\angle ABC$.
3. Находим точку пересечения биссектрисы $BK$ и катета $AC$. Обозначаем эту точку $O$. Эта точка является центром искомой окружности.
4. Отрезок $OC$ является радиусом $R$ искомой окружности.
5. С помощью циркуля строим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OC$. Эта окружность и будет искомой.

Доказательство

Проверим, что построенная окружность удовлетворяет всем условиям задачи:

• Центр лежит на одном из катетов: По построению, центр $O$ является точкой пересечения биссектрисы угла $\angle ABC$ и катета $AC$, следовательно, точка $O$ лежит на катете $AC$.
• Окружность проходит через вершину прямого угла: Радиус окружности по построению равен длине отрезка $OC$, поэтому точка $C$ (вершина прямого угла) лежит на окружности.
• Окружность касается гипотенузы: Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$, она равноудалена от сторон этого угла — прямых $AB$ и $BC$. Расстояние от $O$ до прямой $BC$ равно $OC$ (поскольку $O \in AC$ и $AC \perp BC$). Расстояние от $O$ до прямой $AB$ (длина перпендикуляра $OT$) должно быть таким же. Таким образом, $OT = OC$. Так как $OC$ — это радиус окружности, а $OT$ — расстояние от ее центра до прямой $AB$, то окружность касается гипотенузы $AB$ в точке $T$.

Все условия выполнены, следовательно, построение является верным.

Ответ: Центр искомой окружности находится в точке пересечения одного из катетов (например, $AC$) и биссектрисы противолежащего ему острого угла ($\angle ABC$). Радиус окружности равен расстоянию от найденного центра до вершины прямого угла ($C$).