Номер 464, страница 123 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Многоугольники. 47. Четырёхугольник. Глава 6. Четырехугольники - номер 464, страница 123.

464 Найдите количество диагоналей а) выпуклого пятиугольника, б) выпуклого двенадцатиугольника, в) выпуклого двадцатипятиугольника.

Для нахождения количества диагоналей выпуклого многоугольника с $n$ вершинами (или $n$-угольника) используется общая формула. Разберем, как она выводится. Диагональ — это отрезок, который соединяет две несоседние вершины многоугольника.

Из каждой вершины $n$-угольника можно провести отрезки ко всем остальным вершинам. Всего вершин $n$, значит, из одной вершины можно провести отрезки к $n-1$ другим вершинам. Два из этих отрезков являются сторонами многоугольника (они соединяют выбранную вершину с двумя соседними). Остальные отрезки являются диагоналями. Таким образом, из каждой вершины можно провести $n-3$ диагонали.

Если мы умножим количество вершин $n$ на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины $(n-3)$, мы получим $n(n-3)$. Однако при таком подсчете каждая диагональ (например, AC) будет учтена дважды: один раз как выходящая из вершины A, и второй раз как выходящая из вершины C. Поэтому, чтобы получить истинное количество диагоналей, результат нужно разделить на 2.

Итоговая формула для вычисления количества диагоналей $D$ в выпуклом $n$-угольнике:

$$D = \frac{n(n-3)}{2}$$

Теперь решим задачу для каждого случая, используя эту формулу.

а) выпуклого пятиугольника

Для выпуклого пятиугольника количество вершин $n = 5$. Подставим это значение в формулу:

$$D_5 = \frac{5 \cdot (5 - 3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$$

Ответ: 5

б) выпуклого двенадцатиугольника

Для выпуклого двенадцатиугольника количество вершин $n = 12$. Подставим это значение в формулу:

$$D_{12} = \frac{12 \cdot (12 - 3)}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2} = 6 \cdot 9 = 54$$

Ответ: 54

в) выпуклого двадцатипятиугольника

Для выпуклого двадцатипятиугольника количество вершин $n = 25$. Подставим это значение в формулу:

$$D_{25} = \frac{25 \cdot (25 - 3)}{2} = \frac{25 \cdot 22}{2} = 25 \cdot 11 = 275$$

Ответ: 275