Номер 440, страница 117 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 3 и 4. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 440, страница 117.

440 Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный.

Доказательство:

Пусть в треугольнике $ABC$ из вершины $A$ проведены высота $AH$ и медиана $AM$. По условию задачи, эти линии делят угол $\angle BAC$ на три равные части. Обозначим величину каждой из этих частей через $\alpha$.

Если бы треугольник был равнобедренным с $AB = AC$, то высота и медиана, проведенные из вершины $A$, совпадали бы. В этом случае угол $\angle BAC$ делился бы на две, а не на три части. Следовательно, $AB \neq AC$. Без ограничения общности, пусть $AB > AC$. В этом случае на стороне $BC$ точка $H$ (основание высоты) лежит между точками $B$ и $M$ (серединой стороны), а порядок лучей, выходящих из вершины $A$, следующий: луч $AC$, луч $AM$, луч $AH$, луч $AB$.

Из условия следует, что $\angle CAM = \angle MAH = \angle HAB = \alpha$.

Тогда весь угол при вершине $A$ равен $\angle BAC = 3\alpha$. Угол между стороной $AC$ и высотой $AH$ равен $\angle CAH = \angle CAM + \angle MAH = 2\alpha$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой $AH$.
В $\triangle AHC$ ($\angle AHC = 90^\circ$): $\angle C = 90^\circ - \angle CAH = 90^\circ - 2\alpha$.
В $\triangle AHB$ ($\angle AHB = 90^\circ$): $\angle B = 90^\circ - \angle HAB = 90^\circ - \alpha$.

Теперь воспользуемся свойством медианы ($BM = MC$) и применим теорему синусов к треугольникам $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$.

Для $\triangle ACM$ по теореме синусов:$ \frac{MC}{\sin(\angle CAM)} = \frac{AM}{\sin(\angle C)} \implies \frac{MC}{\sin(\alpha)} = \frac{AM}{\sin(90^\circ - 2\alpha)} = \frac{AM}{\cos(2\alpha)} $.Отсюда $ MC = \frac{AM \cdot \sin(\alpha)}{\cos(2\alpha)} $.

Для $\triangle ABM$, в котором $\angle BAM = \angle MAH + \angle HAB = 2\alpha$, по теореме синусов:$ \frac{BM}{\sin(\angle BAM)} = \frac{AM}{\sin(\angle B)} \implies \frac{BM}{\sin(2\alpha)} = \frac{AM}{\sin(90^\circ - \alpha)} = \frac{AM}{\cos(\alpha)} $.Отсюда $ BM = \frac{AM \cdot \sin(2\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{AM \cdot 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 2 AM \sin(\alpha) $.

Приравнивая выражения для $BM$ и $MC$:$ 2 AM \sin(\alpha) = \frac{AM \sin(\alpha)}{\cos(2\alpha)} $.

Так как $AM > 0$ и $\alpha$ является частью угла треугольника ($0 < 3\alpha < 180^\circ$), то $\sin(\alpha) \neq 0$. Сократив обе части на $AM \sin(\alpha)$, получим:$ 2 = \frac{1}{\cos(2\alpha)} $, или $ \cos(2\alpha) = \frac{1}{2} $.

Поскольку $2\alpha = \angle CAH$ — острый угол в прямоугольном треугольнике, $0 < 2\alpha < 90^\circ$. Единственное решение уравнения в этом интервале — $2\alpha = 60^\circ$, что дает $\alpha = 30^\circ$.

Таким образом, угол $\angle BAC = 3\alpha = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$. Мы доказали, что треугольник $ABC$ является прямоугольным.

Ответ: Треугольник является прямоугольным, что и требовалось доказать.